很多自然现象都是借助于线性和非线性方程来描述的，这些方程作为重要的数学模型被广泛应用于物理学，生物学，控制科学和许多其他领域的研究中。那么这些现象的综合分析可以归结为求解微分方程，因为得到这类方程的解析表达式是非常困难的，所以给出适合的数值方法就成为了既有理论价值又有实际意义的研究课题。那么如何解决这些有意义的方程变得越来越重要。　　本文给出了Burgers方程、再生核方法和外推法的基本理论；提出了求解Burgers方程的再生核方法、给出了求解二阶非线性常微分方程初值问题的一种改进的再生核方法。　　第一章介绍了Burgers方程和常微分方程的初值问题的研究现状，并详细描述了再生核空间的应用背景和发展历史。研究了外推法，给出外推法的基本理论，分析了外推法在解决微分方程时的优缺点。　　第二章提出了求解Burgers方程的再生核方法，并给出了该方法的理论证明及误差估计，并用数值例子说明了该方法的可行性。　　第三章结合外推法和再生核方法，提出了求解二阶非线性常微分方程初值问题的一种改进的再生核方法，给出该方法的计算公式及误差估计，并对误差估计进行证明。将数值试验结果对比收敛性分析，总结了该方法的优缺点。