非线性理论是描述具有无规结构的复杂系统结构形态的一门新兴边缘科学。它包含了分形、混沌和孤子这三个非常重要的概念。本文侧重研究了分形学中具有重要意义的牛顿(Newton)迭代M-J集的相关理论和方法,并取得了一些重要的研究成果。 牛顿迭代是求解非线性方程或方程组的一种重要的方法,它将解方程f(x)=0的问题转化为一个动力学过程,求解过程与初值选择有关。牛顿方法并不局限于解复平面上的问题,用复数来讨论问题的好处是,已有十分成熟的数学学科来指导我们的研究,即Julia和Fatou的迭代理论,而关于实函数问题还没有相应的理论。本文中,我们首先将牛顿迭代法应用于非线性方程组,构造并研究了实指数幂多元牛顿变换的Julia集的相关理论。研究中我们发现,随参数实指数幂β值增大,多元牛顿变换的Julia集有一个突变,表现为吸引域的个数加1,且其Julia集的结构依赖于相角主值范围的选取。 接下来我们对Calson,Pickover的轨道陷阱技术进行了研究,提出了使用IFS迭代系统所绘制的自然图形作为轨道陷阱以及双陷阱技术,构造了复多项式的伪3D牛顿变换的M-J集,在得到了艺术的分形图形的同时,我们还发现,广义M-J集中存在具有伪3D效果且与对应陷阱形状相近的大小不同的彩色元素,且广义M集中始终都存在着由坏点组成的经典M集。这一部分的研究工作已被《中国图象图形学报》录用。 最后,我们采用渐变的颜色方案研究了在多种牛顿变换下,根的吸引域的大小及分布与各个根之间的相互距离以及每个根的重数的对应关系。研究发现,对于大多数迭代方法,在根的重数都相同的情况下,根之间的相互距离成为决定根的吸引域的分布的唯一要素;而当三个根之间的距离都相等时,根的重数越大,相应的吸引域也就越大。此外,渐变的颜色方案让我们方便的观察到吸引域内部的结构以及收敛速度的快慢。