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Hopf代数起源于二十世纪四十年代，主要由Hopf对Lie群的拓扑性质的公理性研究时而构造的既有代数结构又有余代数结构的代数概念。Hopf代数是可能使得两个模的张量积仍然是模的那部分代数。同时，对任意的Hopf代数，讨论它的两个模的张量积分解和交换性是Hopf代数研究中的重要课题之一。当H是几乎余交换的Hopf代数时，它的任意两个模的张量积是可交换的，而辩子Hopf代数(又称拟三角Hopf代数)是几乎余交换的。拟三角Hopf代数是Drinfeld在研究量子Yang—Baxter方程时引进的，通过这类Hopf代数的表示可为量子Yang—Baxter方程提供解。对于任一有限维Hopf代数H，Drinfeld给出了一种方法可以构造一个拟三角Hopf代数D(H)，现在一般称D(H)为Hopf代数H的Drinfeld double。
本文中设k是特征为2的代数闭域，S<,3>是3元对称群。本文主要研究Hopf代数kS<,3>的Drinfeld double D(kS<,3>)的不可约表示与Grothendieck群G<,0>(D(kS<,3>))的环结构。
在第一章中，我们回顾了Hopf代数的一些背景知识，以及本文所需要的一些基本概念和基本结论。着重介绍了拟三角Hopf代数，有限维Hopf代数H的 Drinfeld double D(H)等概念及其结构，D(H)的模范畴与Yetter—Drinfeld H-模范畴的关系等内容。
在第二章中，我们首先介绍了Drinfeld double D(kS<,3>)的具体结构，由此研究了D(kS<,3>)的不可约表示。我们证明了在同构意义下，D(kS<,3>)恰好有6个单模，并给出了这6个单模的具体结构，记这6个单模为V<,1>,V<,2>,V<,3>,V<,4>,V<,5>,V<,6>。得到重要定理：
定理2．3．1．设V是D(kS<,3>)-单模，则V必同构于V<,1>，V<,2>，V<,3>，V<,4>，V<,5>,V<,6>中之一。在第三章中，我们研究了Grothendieck群G<,0>(D(kS<,3>))的环结构。由于D(kS<,3>)是一个拟三角Hopf代数，G<,0>(D(kS<,3>))是一个交换环，作为加法群G<,0>(DCkS<,3>))是自由Abel群Z-基{[V<,1>]，[V<,2>]，[V<,3>]，[V<,4>]，[V<,5>]，[V<,6>])。这里主要给出了任意两个单模张量积V<,i> V<,j>的结构。当V<,i> V<,j>半单时，给出了V<,i> V<,j>分解成单模直和的分解式；当V<,i> V<,j>非半单时，给出了Soc(V<,i> V<,j>)的结构,此时(V<,i> V<,j>)/Soc(V<,i> V<,j>)必是半单，同时给出了这种商模的结构。由此得出了G<,0>(D(kS<,3>))的乘法公式。最后我们给出本文的重要定理。