设F是Rd中一类集合构成的集族，M(C)Rd。如果对于任意两个不同的点x，y∈M，均存在一个集合F∈F，使得x，y∈F且F(C)M成立，那么称M是F-凸集。　　论文第二章给出了凸体和有限点集自私性的定义:设K是一个凸体（或满维有限点集），FK表示所有与K相似的凸体（或有限点集）构成的集族.如果集族FK中包含所有紧的（或有限的）FK-凸集，那么我们称K是自私的。论文一方面回答了文献[38]中的公开问题，得到:所有的矩形都是自私的，所有的锐角等腰三角形都是自私的;并将文献[38]中关于等边三角形和正方形韵结论推广到一般的正多边形，得到:每一个正多边形都是自私的。另一方面将自私性的概念由凸体推广至离散点集，证明了:每一个正多边形的顶点集都是自私的，所有非等边的等腰三角形的顶点集都不是自私的，满足长短边长度比为√2∶1的平行四边形的顶点集不是自私的。　　论文第三章研究了当F为顶角是α（0＜α≤π）的等腰三角形的顶点三元组构成的集族时导出的it(α)-凸性问题。讨论了使得平面内的一些紧凸集（包括正多边形，Reuleaux多边形以及所有旋转变换构成一个4k（k∈Z+）阶群的紧凸集）和离散点集(11种阿基米德铺砌的顶点集)是it(α)-凸集的α的范围。同时得到:当α＜π/2时，平面中不存在it(α)-凸的紧凸集;平面4-点it(α)-凸集有且仅有3种;平面上既是it（α）-凸的，又是it(β)-凸的5-点集（α≠β）有且仅有1种。