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在本文中,我们以主网(principal nest)为工具,定义一类具有特定组合性质的单峰映射,并从测度和重整理论的观点,使用区间映射和复动力系统技巧,对其动力学性质作出研究.长久以来,具有Fibonacci组合型的区间映射的动力性质吸引了大批数学家的研究兴趣.研究结果表明Fibonacci映射的几何和测度性质依赖于临界指数的大小:当临界指数足够小(小于2+ε)时,Fibonacci映射具有绝对连续不变概率测度;当临界指数增长,不变概率测度消失,此时映射具有保守的绝对连续不变σ-有限测度;当临界指数充分大时,Fibonacci映射具有非正则吸引子(wild attractor),从而不再是保守的,并且不具有绝对连续不变概率测度.以往刻画区间映射组合性质的工具是kneading理论,近年来从复动力系统中演化的主网逐渐成为研究区间映射的主要工具.考虑单峰映射的主网I0(?)I1(?)…(?)In(?)…,考虑到In的首次回归域与首次回归映射,仅考虑与临界点轨道的交不为空集的回归域,设回归映射在其上的限制为gn·单峰映射是Fibonacci型的当且仅当:每一层In与临界点轨道相交的回归域恰为两个,其中一个包含临界点(中心分支),gn+1在中心分支上等于gn2,而在非中心分支上等于gn·如果用f的迭代次数表示,则中心分支和非中心分支的迭代次数分别为第n+1和第n个Fibonacci数.我们考虑一类从Fibonacci单峰映射推广得到的映射W,满足主网中每一层In与临界点轨道相交的回归域为两个,其中一个包含临界点,且gn+1在其上的限制为gnpn,而在另一个分支上的限制为gnqn.我们用正整数对序列{(pn,qn)}n≥1来刻画映射的组合性质,称为映射的组合序列.在这样的设定下,Fibonacci单峰映射的组合序列满足pn≡2,qn≡1.我们首先证明当Θ={(pn,qn)}n≥1满足可容许条件时,存在单峰映射具有给定的组合序列.对于这一类映射,我们证明如果其临界点是勉强回归的,那么具有绝对连续不变概率测度;如果具有‘有界组合型’,即1 ≤qn≤pn ≤P,那么当临界指数充分大时,将不具有绝对连续不变概率测度.虽然这一类映射是不可重整的,但在’generalized renormalization’的意义下,通过将主网In的首次回归映射拉伸到相同的尺度,可以定义Fibonacci-like型重整算子R.这使得我们从单峰映射出发考虑一类新的映射F:每个映射f定义在两个不交开区间I0,I1的并集上,具有唯一的临界点c ∈ I0(中心分支),并且将定义域的每个分支映到更大的区间I.如果对f临界点的回复性进行组合性质的假设:存在正整数k使得f1(c),…,fk(c)∈I1而fk+1(c),fk+2(c)∈ I0.那么f到I0的首次回归映射f1仍然属于类F,并且限制在中心分支上等于fk+1,限制在非中心分支上等于f.这样的映射称作Fibonacci-like可重整的,记k为f的重整周期.将f1拉回到原有的尺度,得到的映射记为Rf,称作f的重整.对任意的f∈ W具有组合序列{(pn,1)}n≥1和每个n≥ 1,gn的重整周期为pn-1.特别地,Fibonacci映射是无穷次可重整的,并且每一次重整的周期都为1.我们们考虑无穷次Fibonacci-like可重整的映射f∈F.我们根据f的重整周期分奇数和偶数情形讨论.对于具有‘有界组合型’的无穷次可重整Fibonacci-like映射(每一次重整的周期是有一致上界的偶数或奇数)f,我们证明重整序列{Rnf}收敛到一致的极限,并且构造重整算子的马蹄型吸引子.最后,对于具有稳定偶数组合型的无穷次Fibonacci-like可重整映射(每一次重整的周期都是相同的偶数),我们考虑其在重整算子下收敛到的不动点映射f.将f嵌入恰当的Banach空间,我们定义重整算子R的解析化算子,并且证明f在该算子下是双曲不动点.本文内容安排如下:在第一章中,我们首先回顾一维动力系统的起源,发展和主要研究内容.其次我们介绍与本文研究相关的组合理论,不变测度和重整理论的研究背景和研究成果,并介绍本文的研究结果.在第二章中,我们介绍文中涉及的区间映射,遍历论以及复动力系统中的基本概念和已知结果.在第三章中,我们研究一类以主网来刻画组合性质的Fibonacci-like单峰映射W.我们首先证明满足可容许条件的组合序列是存在的.我们进一步说明映射的组合性质影响了主网的几何衰减性,从而对这一类映射的测度性质进行研究.在第四章中,我们通过主网和首次回归映射定义作用在类F上的Fibonacci-like型重整算子R.我们对偶数和奇数组合型做分别讨论,并对具有有界组合型的映射类,证明任意映射在重整算子下收敛到一致的极限,并且构造重整算子的马蹄型吸引子.在第五章中,我们在恰当的Banach空间下,将Fibonacci-like型重整算子R解析化为定义在稳定偶数组合型重整不动点映射的邻域上的紧线性算子.我们证明不动点映射是双曲不动点,并且具有余维数1的稳定流形.