有限体积元方法作为数值求解微分方程的一类重要方法，它综合了有限差分法和有限元法的优点，兼有有限差分法的简单性和有限元法的精确性，已被广泛应用于计算流体力学等重要领域.本文我们分别针对一维椭圆和抛物型问题，提出三次超收敛有限体积元方法，全篇共分两章。 第一章研究了基于等距节点下三次Lagrange插值的超收敛有限体积元方法.§1.1是引言，介绍了有限体积元方法和三次Lagrange插值导数超收敛点，即在标准单元[-1,1]上，若应用四个等距节点(-1，u(-1))，(-1/3，u(-1/3))，(1/3，u(1/3))，(1，u(1))作三次Lagrange插值，其导数通常情况下具有三阶精度，但在{±、√5信/3,0}处导数达到四阶精度，这些点即为等距节点下三次Lagrange插值导数超收敛点.§1.2针对一维椭圆问题提出了基于三次Lagrange插值的超收敛有限体积元方法.在每个单元[x3i-3,x3i]上，取(X3i-3，u3i-3)，(x3i-2,u3i-2)，(x3i-1，u3i-1)，(X3i，u3i)四个等距节点下的三次Lagrange插值函数作为试探函数，分片常数空间为检验函数空间，以三次Lagrange插值导数超收敛点为对偶剖分节点，推导计算格式，并给出H1模、L2模误差估计，证得格式在这两种范数下分别具有三阶和四阶精度，同时给出导数超收敛估计.数值算例验证了理论分析结果并将该方法应用到求解奇异源项问题.§1.3将上节离散思想推广到一维抛物型问题，导出了计算格式并给出L2模收敛性分析，数值算例验证了方法的有效性。 第二章研究了基于三次样条插值的超收敛有限体积元方法.§2.1引言部分介绍了三次样条在数值求解微分方程方面的已有成果和三次样条准备知识及其导数超收敛点，即在单元[xi-1,xi]上，单元中点为其导数超收敛点.§2.2分别针对各种不同边界条件下的两点边值问题提出了基于三次样条插值的超收敛有限体积元方法，并给出离散H1模和L2模误差估计，并推广到非线性和奇异源项问题.§2.3针对一维抛物型问题，给出了基于三次样条插值的超收敛有限体积元计算格式和理论分析，数值算例验证了算法的有效性和适用性。