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在群论中，子群与群结构有密切联系，相互影响.本文先对p群子群计数问题进行研究，当p非偶素数时已有结论，剩下p=2的情况，这是由于2是唯一一个偶素数，它的特殊性也造就了其在p群研究中的繁杂性.接着结合已有的计数问题相关结论，将其结果应用于Galois域，得到关于其子域的一些结论.最后利用超可解群的知识研究Cayley图中的Hamilton问题. 本文在第三章中，主要利用2群的分类定理及P.Hall计数原则，对2群的子群个数关于模4剩余做出了圆满回答.并借助Galois的经典理论，建立了Galois扩域与Galois群之间的联系并得到一些关于Galois域的子域个数的一些性质. 本文在第四章中，先回顾了Cayley图的Hamilton性的研究进展，应用有限群构造及超可解群理论，得到了pq2阶无向Cayley图是Hamilton图的结论.接着对3p阶群上有向Cayley图的Hamilton性做了一些深入研究，并举了两个例子希望对3p阶Cayley的Hamilton性有所帮助.