在本文中,我们主要考虑了一类分段光滑微分系统的分支问题,该系统的左子系统是一个一般的线性系统,右子系统是一个二次哈密尔顿系统.左子系统具有四个参数,而且仅有唯一的奇点.当参数在不同的范围内取值时,线性系统的奇点类型可以为鞍点、结点和焦点.通过建立恰当的左、右庞加莱映射,并分析左、右庞加莱映射的性质,对于每一种情形下这个分段光滑系统的动力学行为,我们都做了深入地定性分析.本文首先研究了当左子系统的奇点类型为鞍点时的情形.此时,该分段光滑系统会存在同宿环和异宿环,我们得到了对应的参数条件.此时原分段光滑系统至多能出现一个极限环.其次,当左线性子系统具有虚结点时,我们证明了分段光滑系统可以出现异宿分支现象,此时会出现一个极限环.最后,我们考虑了当左线性子系统的奇点类型为焦点时的情形,我们将会分两种情况分别讨论该分段光滑系统的分支问题,即实焦点和虚焦点.在实焦点的情况下,我们证明了随着参数的变化,分段光滑系统将出现多种分支现象,例如:异宿分支、穿越临界环分支、以及滑动同宿分支、滑动异宿分支等.此时最多可以出现两个极限环.当左线性系统出现虚焦点时,我们证明了分段光滑系统会出现异宿分支现象且可以出现一个极限环.我们的结果推广了[Pi D.,Zhang X.,The sliding bifurcations in planar piecewise smooth differential systems.J.Dyn.Diff.Equat.,(25)2013,1001-1026]中当左系统具有实焦点情形的所有结果,并讨论了左系统具有鞍点、虚结点和虚焦点的情形,这些都是新的结果.