在过去的几十年里,计算机的应用已经扩展到科学和工程的各个领域,这使得分析更加复杂和精细的物理模型成为可能。虽然大家习惯于处理确定性的静态问题,但实际结构所受的荷载不仅随着时间的变化而变化,而且在同一时间具有明显的随机性,工程问题的随机建模和求解成为一种趋势,随机动力学也引起人们的关注。迄今为止,线性体系的随机振动理论的发展已日臻成熟,非线性系统的随机响应分析仍是随机动力学的挑战。矩方程法是非线性随机系统分析中常用的方法,由于响应的统计矩方程是一个无穷维的结构,因此必须使用截断方案,用有限组方程逼近无穷系统,以便于求解。作者开发了两种新的非线性系统随机响应分析的矩方程方法。高阶矩方程带来的巨大计算成本是矩方程法面临的一个重大难题。作者借助高斯混合模型和高斯copula函数,给出了非线性系统随机响应的联合PDF。并将假设的PDF度带入系统的矩方程中,通过最小化方程的误差,确定所假设的PDF中的参数。得益于高斯混合模型和高斯copula函数的特殊性质,极大程度地减小计算成本。同时可以证明传统的高斯截断法是该方法的精度下限。此外,由于零均值高斯分布的特殊性质,计算成本进一步降低。最后通过受高斯白噪声激励的非线性振子和杜芬振子验证了该方法的有效性和准确性。并与高斯截断法所得结果和精确解进行比较。矩方法的另一个主要挑战是在截断中仅涉及到非常有限的响应整数阶矩,从而丢失响应的重要概率信息,导致截断的精度差。本文提出了一种新的分数矩方程方法,克服了现有方法的局限性。该方法推导了非线性系统的整数阶分数阶矩方程,并利用一种新的分数阶矩截断法逼近了非线性系统响应的PDF。得益于分数矩的宝贵特性,即较少的分数阶矩可包含大量的统计信息,从而估计未知的PDF。与现有方法相比,该方法可以对随机响应做出准确的估计,特别是对于具有多稳态的非线性系统。该方法的另一个优点是在分数阶矩方程的背景下,可以显式地得到响应的联合PDF,并能用于非线性系统的首次超越概率分析。最后通过受高斯白噪声激励的杜芬振子和双稳态杜芬振子验证了该方法的有效性。并与高斯截断法精确解进行比较。