最优传输模型由法国数学家Gaspard Monge提出.它描述的是以最小的成本将所有源分布的概率质量传输到目标分布.模型中的Wasserstein距离不仅定义了两个分布之间的距离,而且对测度空间有直观的几何描述.当两个分布的支撑集不相交时,Wasserstein距离仍能描述两个分布之间的距离,使得它在这方面优于KL（Kullback-Leibler）散度.但由于Wasserstein距离计算量大,在数据科学领域中应用不多.2013年,法国数学家Marco Cuturi对原模型使用了熵正则技巧,并采用Sinkhorn迭代算法,以非常低的计算成本逼近最优传输模型的解.这使得最优传输模型重新获得了人们的关注.随着大规模（large-scale）算法的提出与实现,最优传输模型已经在机器学习、统计分析、计算机图形学及其他相关领域中得到了广泛应用.然而,最优传输模型在计算方面还存在着许多问题.当最优传输模型应用于刻画对抗生成网络（GAN）时,神经网络参数化从低维特征空间到高维特征空间传输映射,产生源分布与目标分布维数不等的传输问题.如果在计算中忽略此问题,则会造成模型训练不稳定并影响计算结果的准确性.此外,在传输模型的应用中,需要计算两个测度间的Wasserstein距离.目前常用的方法是采用经验测度来估计Wasserstein距离.但面对大规模传输问题,用高维数据计算最优传输损失时,样本复杂度（sample complexity）随维数呈指数增长.受到维数灾和样本噪声的影响,模型的收敛速度较慢,计算的稳定性也会受到影响.因此,研究最优传输模型中Wasserstein距离的估计和不等维传输问题有重要的意义和实际应用价值.围绕这些问题,论文基于投影和coupling分解技巧提出了以下解决方法:（1）为了解决最优传输模型刻画GAN时存在的不等维传输问题,提出多重投影方法:将源分布和目标分布同时投影到多个低维子空间中,在这些子空间中构建传输模型以获得传输映射,将相应的投影源分布推向投影的目标分布,并推导出原不等维传输问题可转变为多边际传输问题.论文证明了此多边际传输问题解的存在性和唯一性,给出了解的显示表达.随后对多边际传输问题的目标函数采用参数法进行逼近,证明此参数估计的目标函数具有可微性,给出了统计收敛结果,以保证问题可用一阶方法求解.（2）为了解决高维分布情形下Wasserstein距离估计中所出现的维数灾和样本噪声对计算的影响,论文对原始的最优传输模型中的coupling进行分解,并施加低维流形结构,从而提出扩展的Spiked模型.扩展的Spiked模型中的coupling为若干个乘积测度的加权和,此时,源测度和目标测度分别有一个分划.模型使用经验测度计算时对采样噪声具有鲁棒性.此外,模型中源测度与目标测度同时投影到低维子空间中可减轻维数灾对模型计算的影响.对此模型,论文研究了传输损失逼近误差的上界,并给出了Wasserstein距离用经验测度估计的收敛结果及相应的统计性质.（3）熵正则化最优传输模型可等价地变为关于KL散度的投影问题,此问题在使用域分解算法时能够线性地收敛到唯一的全局最优解.论文研究了域分解算法在分解小单元上,使用小批量样本学习Wasserstein距离来求解问题时,算法的稳定性及相关统计性质.通过研究小单元上的熵正则化传输问题的对偶问题,证明了在域分解算法中,通过小批量数据进行优化计算能保证梯度的估计质量,且能获得高精度的解.此外,给出了次抽样小批量Wasserstein距离在分解单元上的统计集中不等式（concentration inequality）,结果表明小批量样本的批量数目和小批量样本大小会影响收敛结果.