等周问题与Minkowski问题是积分几何与凸几何分析的核心问题.等周问题等价于等周不等式,与等周不等式相应的仿射等周不等式是积分几何与凸几何分析中重要的不等式.建立仿射等周不等式的关键是寻找仿射不变量,几何测度在仿射不变量的构造中起到重要作用,如Lp表面积测度在Lp仿射表面积,Lp极小几何表面积,Lp John椭球等概念的构建中起到不可或缺的作用.2018年Lutwak-Yang-Zhang提出了一族新的几何测度——Lp对偶曲率测度(又称为(p,q)-对偶曲率测度).它包含了Lp表面积测度,Lp积分曲率测度和对偶曲率测度,揭示了上述三种测度相互关联.该测度的引入是凸几何分析中一个突破性进展.受Lutwak-Yang-Zhang工作的影响,本学位论文主要研究关于(p,q)-对偶曲率测度的仿射等周不等式,即关于(p,q)-混合仿射表面积、(p,q)-混合极小几何表面积的仿射等周不等式和关于(p,q)-John椭球的几何不等式.第三章首先引入了关于(p,q)-对偶曲率测度的(p,q)-混合极小几何表面积,是Lp极小几何表面积的推广.(p,q)-混合极小几何表面积是连续的(定理3.1.2)且在特殊线性群下是仿射不变的(命题3.1.1).(p,q)-混合极小几何表面积的定义是由极值问题确定的,利用Blaschke选择定理我们解决了该极值问题,给出了(p,q)-混合Petty体的概念(定义3.1.3),并且证明了它的唯一性(定理3.1.1)和有界性(引理3.1.3).我们建立了关于(p,q)-混合极小几何表面积的仿射等周不等式(定理3.1.4),且(p,q)-混合Petty体在等号成立时起到了关键作用.第三章还研究关于(p,q)-对偶曲率测度的(p,q)-混合仿射表面积,是Lp仿射表面积的推广.相似地,(p,q)-混合仿射表面积在特殊线性群下是仿射不变的(命题3.2.1)且具有上半连续性(命题3.2.2).(p,q)-混合仿射表面积的定义也是由极值问题确定的,通过解决该极值问题我们给出了在特殊情形下(p,q)-混合仿射表面积的等价定义:积分形式(定理3.2.1).最后本章建立了关于(p,q)-混合仿射表面积的仿射等周不等式(定理3.2.3).第四章讨论(p,q)-John椭球.经典的John椭球和Lp John椭球均是(p,q)-John椭球的特殊情形.我们证明了(p,q)-John椭球的特征(定理4.1.3)及连续性(定理4.2.1),得到类似于Ball体积比不等式与John包含关系的关于(p,q)-John椭球的不等式(定理4.3.1)及包含关系(定理4.4.2).