u=|u|u+f<,p>(x,u),u∈W<,0><1>,

(Ω),其中ΩR(N≥3)是一个有界光滑区域,0∈Ω,1u:=div(|Δu|Δu)是p-Laplacian,p*:=Np/(N-p)是Sobolev临界指数,μ∈R是一个参变量,f<,p>(x,u):Ω×R→R是满足一定条件的函数.这个方程的特点是:在原点0具有奇性,并且含有Sobolev临界指数项.当p=2时,已有一些文章研究(Q)<,2>类边值问题(见[1,2,3]及其中的参考文献).例如,在文[1]中,H. Brezis和L.Nirenberg早在1983年就研究了在μ=0,f<,2>(x,u)=λu情形下边值问题(Q)<,2>正解的存在性问题,指出该问题解的存在性与空间的维数以及参变量λ的值有关(见[1]);1999年,E.Jannelli在文[2]中讨论了当f<,2>(x,u)=λu,μ<μ<,2>=(N-2/2)<2>,0<λ<λ<,1>(μ)时,(Q)<,2>正解的存在性与非存在性问题,其中λ<,1>(μ)是线性算子L<,μ>:=-Δ-μI/|x|<2>(I为恒等算子)在Dirichlet零边值条件下的第一特征值(见[2]),把文[1]中相应的结果推广到了μ≠0的情形;2001年,A.Ferrero和F.Gazzola在文[3]中在条件0≤μ<μ<,2>,f<,2>(x,u)=λu,λ>0下获得了(Q)<,2>非平凡解的存在性结果,同时他们还考察了更一般的情形:0≤μ<μ<,2>,f<,2>(x,u)=g(x,u),其中g(x,u):Ω×R→R是满足一定条件的函数,并且获得了一些好的结果,在文献[3]中作者还提出了一个开问题:当μ<0时,(Q)<,2>是否还存在非平凡解(见[3,p.519])?当1的研究,目前还只有两种情形下的结果:i)f<,p>(x,u)≡0.此时若Ω是星形区域,则边值问题(Q)<,p>无非平凡解(见[6,7,16]);ii)μ=0.此时(Q)<,p>不带奇异项,(Q)<,p>非平凡解的存在性与扰动项f<,p>(x,u)有关(参看[5,20]).该文应用与文[1,2,3]不同的方法获得了边值问题(Q)<,2>正解的存在性结果,其中对文[3]中开问题的情形给出了部分回答.同时,该文还应用Hardy不等式和变分方法以及P.L.Lions的集中紧性原理(参看[8])获得了边值问题(Q)<,p>在p>1和f<,p>(x,u)≠0情形下非平凡解的存在性结果,这种情况的边值问题据我们所知还未研究过(p=2时的情形除外).