共形几何是一门交叉学科，主要研究曲面上的共形结构，在拓扑与几何之间寻找关联及平衡，挖掘曲面潜在且内蕴的特征，来更好地理解曲面，用于图形分析及处理。近年来，如何有效地表示、处理、利用飞速膨胀的三维数字模型，成为一个急需解决的问题。计算共形几何领域的快速发展为数字几何处理提供了新的途径，已被成功应用于许多工业领域。本文主要关注计算共形几何中的图形表示及其在图形分析中的应用，研究了(1)高亏格曲面的球面共形参数化、(2)基于双曲Ricci流的复杂拓扑曲面匹配以及(3)基于全纯微分的多连通域匹配三个方面，具体如下：　　 1.提出了基于半纯函数的高亏格曲面的球面共形映射框架及一个新的参数域——双层球面。曲面参数化建立了曲面到拓扑等价的标准域上的双射。众所周知，球面参数化被限制在0亏格封闭曲面上。我们的方法基于黎曼曲面理论，在复空间上构造曲面上的半纯函数：对亏格为1的封闭曲面，使用Weierstress-P函数；对更高亏格的封闭曲面，通过全纯一形式的商来构造。然后通过逆球极投影算法将半纯函数映射到球面上。高亏格曲面缠绕在双层球面上会产生若干扭结点，通过复平面上的Mobius变换可以改变扭结点的分布及网格的疏密。由此，利用球面几何的特点，来拓展高亏格曲面上的应用，例如网格重剖、一致参数化、图形分析等。　　 2.提出了基于双Ricci流的复杂拓扑曲面匹配新方法。三维曲面匹配是图形分析的根本问题。作为几何分析中的一个强有力的工具，Ricci流能够通过指定目标曲率灵活地设计平面度量。对有负欧拉示性数的曲面，比如带有多个洞的人脸曲面，标准的双曲度量共形于原始曲面，并能够被有效地计算。然后，曲面能够被规范地剖分为多个双曲六边形。通过匹配相应的双曲六边形，曲面间的匹配很容易得以实现。相比已有方法，双曲Ricci流生成带有负欧拉示性数的复杂拓扑曲面间的同构映射，同时不会产生奇异点。此外，所有边界均被内蕴地映射到双曲线，可被方便地用作边界对准约束。最后，我们通过三维人脸曲面的匹配及注册来说明该内蕴的图形表示的实用性。　　 3.提出了基于全纯微分形式的多连通域(任意0亏格带有多条边界的开曲面)的有效且最优的匹配新方法。这些多连通域通常来自不完整的三维扫描数据，比如带洞、部分障碍、以及位置改变，或非刚体形变情况下的扫描结果。所提出的最优标准也被用于判断相应边界的一致程度，由此来决定预匹配曲面间进行强制或者自由边界匹配约束。指定边界映射目标的共形参数化方法基于全纯微分形式，将带有n条边界的曲面共形地映射到带有n-2条水平缝隙的平面矩形域中，其它两条边界用作映射条件，被映射为矩形域的两条对应边界。此种映射方法是同构的，且内蕴于曲面几何，能够处理带有任意数量边界的开曲面，同时能够由一个线性系统来实现。我们将该算法应用在真实的人脸扫描曲面匹配及衣服非刚体形变曲面追踪上。实验结果表明，该算法有效且鲁棒，特别地，能够有效地处理具有极不一致边界的三维非刚体形变曲面的匹配及注册。　　 基于计算共形几何的图形分析思想是利用共形映射下的图形表示将三维图形分析问题转换到二维域上来处理。映射本身的共形性及映射方式的多样性为三维曲面上的匹配、注册、追踪等图形分析问题提供了丰富、直观且高效的解决方式。尤其是为复杂拓扑曲面，比如计算机图形学中的高亏格封闭曲面、计算机视觉中的2.5D多连通开曲面，贡献了更为实用的分析途径。结合特定应用需求，共形映射方法已成功地应用于三维图形分析。