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在这篇博士论文中我们研究了下列自然拉格朗日系统其中拉格朗日函数满足假设因此，系统(Ⅰ)可看为黎曼环面(Tn=Rn/Zn，G)上的拉格朗日系统.
进一步，如果
则称系统(Ⅰ)对时间可逆.这种系统的一个r-周期解r:R→Tn被称为可逆的(或偶的)是指它满足：r(-t)=r(t)，()t∈R.
本文分为两部分.第一部分的主要结果是下面两个定理定理1在假设(L1)和(L2)下，或者对某个正整数k，系统(Ⅰ)存在无穷多个可逆的k-周期可收缩周期解，或者有无穷多个正整数k1＜k2＜…，使得对每个km，系统(Ⅰ)有一个可逆的以km为最小周期的可收缩周期解，m=1，2，….
如果V不依赖于时间t，由定理1我们推得：
定理2在假设(L1)下，若V与t无关，(因此(L2)自然成立，)则对任何实数r＞0，下面的三个断言至少有一个成立：
1)V有无穷多个临界点，因此系统(Ⅰ)有无穷多个常值解；
2)对某个正整数k，系统(Ⅰ)有无穷多个非常值的可逆的kT-周期可收缩周期解，其中任何两个解不能通过旋转相互得到；
3)存在无穷多个正整数k1＜k2＜…，使得对每个km，系统(Ⅰ)有一个可逆的、以kmT为最小周期的可收缩周期解，m=1，2，….
在第二部分中，加强定理2的假设，我们能简单地证明：
定理3在定理2的假设下，若进一步假设G和V都是实解析的，且V非常值，则对每一个T0＞0，系统(Ⅰ)存在一个可逆的最小周期大于T0的可收缩周期解.