算子理论产生于20世纪初，由于其在数学和其它学科中的广泛应用，在20世纪的前三十年得到迅速发展，近年来Shorted算子与Schur补的研究已成为算子理论研究的热点问题之一．设H表示无穷维复可分Hilbert空间，我们用B(H)<+>表示H上的所有有界线性正算子全体。设A∈B(H)<+>，S是H的一个闭子空间，则算子A关于S的shorted算子定义为∑(s，A)=max{X ∈B(H)<+>：X≤A且R(X) S}，这里的最大值是在偏序集(B(H)，≥)中取得的．对于正算子A与子空间S，设P(A，S)为这里P表示所有幂等算子全体．若集合P(A，S)是非空的则我们称元素对(A，S)是匹配的。本文研究内容涉及Shorted算子的几何结构、元素对(A，S)的匹配性、正算子的下确界及算子方程的正解问题．在Shorted算子方面，对于给定的A∈B(H)<+>，S H，得到了∑(S，A)的几何结构及元素对(A，S)匹配的充要条件．效应代数方面，Hilbert空间上两个效应的下确界问题是确定在何种条件下效应A和B∈ε(H)的下确界A∧B存在。本文把两个效应的下确界问题推广到两个正算子的下确界问题，对任意的A，B∈B(H)<+>，得到了下确界A∧B存在的充要条件。在算子方程方面，首先对列算子矩阵的条件下，得到了其Moore-Penrose广义逆的表达形式，其次对于无限维Hilbert空间上的算子方程AY=C的正解问题进行了研究，得出了算子方程AX=C有正解的等价条件及正解的通式。 本文共分四章： 第一章主要介绍本文要用到的一些符号、概念及定理，例如正算子谱，Shorted算子，匹配性，下确界等概念；同时又介绍了一些熟知的定理如值域包含定理，谱映射定理等。 第二章我们主要运用算子分块矩阵的技巧来研究Shorted算子，揭示了任意一个正算子A与它的Shorted算子∑(S，A)的几何结构关系。其次，我们刻画了(A，S)的匹配性，这里A是一个自伴算子，S是H的一个闭子空间；特别地，当A是正算子时对集合P(A，5)={Q∈P：R(Q)=s，AQ=Q<*>A}从算子几何结构方面给出了详细刻画，这里的P表示Hilbert空间H上所有幂等算子全体，S 表示子空间S在H中的正交补空间。 第三章在无限维Hilbert空间上，利用Shorted算子来研究两个正算子A，B ∈B(H)<+>的下确界问题，得到了下确界A∧B存在的充要条件。主要结论如下： (1)设A∈B(H)<+>，P是到闭子空间S上的正交投影，则P∧A存在当且仅当σ(∑(S，A)) {0}∪[1，||A||]或σ(∑(S，A)) [0，1]。 (2)设A，B∈B(H)<+>则正算子A，B的下确界A∧B存在当且仅当∑(S<,0>，A)与∑(S<,0>，B)是可比较的，这里S<,0>=R(A)∩R(B)。 第四章我们首先研究了列算子矩阵在R(A<,1><*>)∩R(A<,2><*>)={0}的条件下的Moore-Penrose逆的表达形式；然后探讨了算子方程AX=C有自伴解和正解的条件，分别得出了算子方程AX=C有自伴解和正解的等价条件；最后给出了算子方程AX=C与XB=D有公共正解的充要条件。