本文研究六角格子量子自旋霍尔模型——Kane-Mele(KM)模型纳米带中的两个磁杂质的间接相互作用。其主要内容如下:　　第一章，我们首先介绍了量子霍尔效应和拓扑绝缘体的基本概念和理论。接着介绍石墨烯中已有的关于磁杂质间接相互作用的结果，拓扑绝缘体的铁磁性和量子反常霍尔效应，这是我们这篇论文的研究动机。　　第二章，详细地介绍了KM模型哈密顿量，给出了通过矢量场的零点涡旋来简单直观地判断任意2×2布洛赫哈密顿量的拓扑性。利用这种方法我们证明了KM模型确实处于量子自旋霍尔状态。　　第三章，首先介绍了本文所用的有限格子的精确对角化以及磁杂质间间接相互作用的定义，其次给出KM armchair纳米带(KMAR)中间接相互作用的结果。我们通过调节自旋轨道耦合参数和纳米带的宽度来控制边界的扩展程度以及边界态能隙，发现当自旋轨道耦合和宽度足够大时，边界上的相同子格和不同子格之间以及不同宽度下的间接相互作用的差别消失，显示了边界态对于边界间接相互作用的巨大影响。另外，通过研究J随纳米带长度的敏感性，以及J与直接耦合强度A的关系，我们发现KMAR中的间接相互作用既不是传统金属中的RKKY型，也不是石墨烯armchair中的行为，它具有量子自旋霍尔纳米带的独特性，其机制还有待于进一步研究。　　第四章，研究了KMzigzag纳米带(KMZR)中的间接相互作用。我们发现当纳米带存在周期性边界条件的情况下，破坏空间反演对称性的staggered势△以一种很有意思的方式影响边界上的间接相互作用J。只要最高填充能级处于边界态能谱范围，那么在半填充或者偏离半填充偶数个电子的情况下，随△的增加，J(△)会周期性地出现三角形铁磁峰，如果两个磁杂质的间距合适，那么这些铁磁峰的背景是反铁磁耦合，这样就提供了通过△控制铁磁/反铁磁耦合转变的机制。在偏离半填充奇数个电子的时候，J(△)呈现出振荡的铁磁/反铁磁台阶，使得我们可以更加容易地控制边界的间接相互作用转变。我们期望这个特性可以在自旋电子学中得到应用，可能实现的材料有硅烯，锗烯，stanene，单层的五族元素氢化物和氟化物。　　第五章，我们总结了研究结果，并讨论了将来的可能研究方向。