论文部分内容阅读
本文基于符号计算,分别利用推广的Darboux变换、经典的Darboux变换、双Darboux变换和对称性理论,研究了非线性数学物理中若干非线性模型的怪波解、孤子解及可积性.在符号计算软件Maple平台上开发了Darboux变换与怪波求解的自动推演程序包.主要内容及创新点包括：第一章,绪论部分.主要介绍了怪波、孤子与可积系统、Darboux变换及符号计算的背景与研究现状,并阐明了本文的主要研究结果.第二章,研究了2+1维非线性模型的经典的Darboux变换与孤子解.构造了2+1维CDGKS方程和2+1维nKdV方程的经典的Darboux变换,给出了两个方程的N-孤子解的一般表达式,分析了亮、暗及扭结孤子的动力学行为.第三章,研究了与2×2谱问题联系的非线性模型的推广的Darboux变换与怪波解.构造了AB系统和Kundu-Eckhaus (KE)方程的推广的Darboux变换,给出了两个方程N-阶怪波解的统一表达式.对于AB系统,发现了“四尖峰”型怪波.对于KE方程,通过数值计算,发现高次非线性项和Raman散射项只影响怪波的空间分布,而对怪波出现的时间和振幅没有影响.第四章,讨论了与3×3谱问题联系的非线性模型的推广的Darboux变换与怪波解.构造了耦合Hirota方程、Manakov系统和三波共振(TWR)方程的推广的Darboux变换,给出了三个不同类型方程的N-阶怪波解的统一表达式.对于耦合Hirota方程,发现了向量形式的高阶怪波、高阶怪波与多个暗-亮孤子以及高阶怪波与多个呼吸子相互作用的三种非线性波结构.对于Manakov系统,讨论了高阶怪波与其它非线性波的相互作用性质.对于TWR方程,研究了组合型高阶怪波的分类问题,并基于数值模拟的方法,对高阶怪波解的稳定性进行了分析.第五章,讨论了变系数与离散非线性模型的可积性与孤子解.获得了2+1维变系数Gardner方程的Lax对和共轭Lax对,构造了方程的双Darboux变换,得到了N-孤子解的一般表达式,并分析了亮、暗孤子和共振亮、暗孤子的动力学行为.研究了四位势Blaszak-Marciniak晶格方程的Lie点对称、广义对称、守恒律和孤子解,从对称的角度证明了模型的可积性.第六章,自动推演程序包的开发.在Maple平台上开发了Darboux变换与怪波求解程序包DTRWSI,并以多个实例验证了程序包的实用性和有效性.第七章,总结与展望部分.对全文进行了总结,并就下一步工作做了展望.