概率论这门数学分支，它的严格理论是以测度论为基础的. 而概率论主要分支之一是概率论极限理论,它也是概率论的其他分支和数理统计的重要理论基础.和概率论一样,概率论极限理论也同样离不开测度论，很多极限理论都是通过测度论概念来定义的，同时极限理论的发展同样也带动了测度论的发展.　　 在概率论中， Borel-Cantelli引理是经典的重要结果之一. 目前已经有很多学者对Borel-Cantelli引理进行了研究，特别是在减弱Borel-Cantelli引理第二部分的条件，获得了一系列相对完美的结果.较早关于Borel-Cantelli引理的结果我们可参见Chung,K.L.,(1952)给出的Borel-Cantelli引理及其应用. Kochen和Stone (1964)给出了Borel-Cantelli引理的一个注释. 最近Petrov(2002)给出了Borel-Cantelli引理的一个不等式. Petrov(2004)又给出了Borel-Cantelli引理的一个推广. Chandra(2008)在相依的条件下给出了Borel-Cantelli引理, Sung(2008)在Petrov(2004)的基础上给出了一些结果, Galatolo和Dong(2007)给出Borel-Cantelli引理和一些有关停时的问题.另外， Xie(2008)给出了一个关于Borel-Cantelli引理的重要的双边不等式，对Borel-Cantelli引理的做了一个新的推广. 然而,胡舒合、王学军等(2009)指出了在Xie(2008)中定理的证明及举的例子有些错误，给出了定理的正确的证明和例子的详细分析. 本文在上述文献的基础之上,主要通过对Xie(2008)中双边不等式的研究,将Xie的结果推广到测度空间中的非负可测函数序列,并把其推广到概率空间中的非负随机变量序列和事件序列中,得到相应的双边不等式. 有关概率论基础的书籍,我们可参见严士健等2009版的《概率论基础》和Shiryaev的《Probability Second Edition》.在本文中首先我们给出了有关Borel-Cantelli引理的背景知识及其若干必要的引理和他们的推论及其证明；其次我们介绍了本文研究的背景，并给出了国内外的研究学者们研究的关于Borel-Cantelli引理的一些结果，指出了本文研究的方向，同时给出了一个重要的引理及其证明；最后我们介绍了H(o)lder不等式在测度空间的推广以及关于测度空间中非负可测函数序列积分的双边不等式，并给出了的详细证明，将该积分的双边不等式推广到概率空间上的非负有界随机变量序列和相互独立事件序列，得到相应的概率双边不等式.