近年来,实验和理论显示:由于微观和宏观时间尺度的不可严格区分性,很多统计系统需要用分数阶微分方程来描述。如：非结晶半导体中的电荷输运,水底污染物的扩散,聚合物系统的驰豫以及聚合物网路的视踪动力学等。这些系统具有一个共同的特点：扩散慢于爱因斯坦正常扩散,被称之为欠扩散。分数阶扩散方程的建立,通过考虑记忆效应,用它们可以来描述复杂系统的反常扩散。比如:在外势场情况下聚合物的延伸和非结晶半导体中载流子在深势阱中的捕获。通过研究的不断深入,分数微积分在物理学中的应用越来越广泛,在化学、生物等领域也有很多建树。　　 本文探讨了分数阶微积分在统计力学中的两个应用：分数谐振子和分数朗之万方程。第二章对分数微积分由来、性质以及在物理学中的应用进行了简单的阐述。我们实现了数值模拟分数阶导数,给出了几个简单函数的分数阶导数和积分运算的图像,这为分数阶运算计算器打开了思路。第三章详细分析了分数谐振子的动力学性质。通过求解分数谐振子的动力学方程,得出了分数谐振子的位移、能量、动量随时间的变化函数,其中使用了Mittag-Leffler函数,而分数谐振子的动力学特征主要有Mittag-Leffler函数的性质决定。我们首先发现对于一个独立谐振子,它的能量总是守恒的,而对于一个分数谐振子而言,其不是孤立和保守的,会呈现出一定的阻尼动力学。第四章我们对分数阶朗之万方程进行了详细的研究。发现其不仅能描述欠扩散(0<α<1),而且还能描述超扩散(1<α<2)。这与以前说分数阶扩散方程只能描述欠扩散情况不同。我们对分数朗之万方程进行了求解,得到了速度关联函数和位移关联函数。发现当粒子的速度达到热半衡时或者经过很长时间后(除α=1之外),粒子的位移不会达到平衡态:呈现一种老化现象。