近年来,分数阶微积分理论取得了迅速地发展,在各种工程领域中,出现了越来越多的分数阶模型。由于Caputo分数阶微分的初值条件具有明确的物理意义,所以实际工程中的分数阶模型一般被描述成Caputo分数阶微分方程。尽管一部分Caputo分数阶微分方程的解析解可以被求解,但这些解析解往往比较复杂,不便于应用到实际工程中。因此,如何求解数值解成为亟待解决的问题,本文主要研究求解Caputo分数阶微分方程的高精度数值算法。首先,以Lubich提出的分数阶线性多步法为基础,设计出计算分数阶微分和积分的高精度数值算法。为了计算分数阶微分和积分的数值解,提出了一种构造生成函数的简便方法,并应用生成函数推导出计算分数阶线性多步系数的递推公式。为了消除原函数的非零初值条件对计算精度的影响,将原函数分解成具有零初值条件和非零初值条件的两个函数。对于非零初值条件的函数,直接计算它的分数阶微分或积分的解析式;对于零初值条件的函数,应用递推公式计算它的分数阶微分或积分的数值解。将以上两部分合并,计算出原函数的分数阶微分或积分。另外,改进了计算分数阶微分和积分的矩阵算法,该算法是求解隐式非线性Caputo分数阶微分方程的基础。其次,设计了求解线性Caputo分数阶微分方程的数值算法。此算法根据方程的初值条件构造辅助函数,将原方程转化为零初值条件的方程,然后应用闭式解公式或者矩阵算法求解原方程的数值解。这种算法可以求解原方程的数值解,但是算法的精度受到初值条件个数的限制。为了提高计算的精度,设计了 Taylor级数算法,应用此算法可以计算出缺少的初值条件。根据新的初值条件构造辅助函数,然后应用闭式解公式或者矩阵算法求解原方程的数值解。改进后的算法的精度不再受初值条件个数的限制,通过计算实例检验,此算法显著地提高了计算精度。然后,研究了求解非线性Caputo分数阶微分方程的数值算法。对于显式非线性Caputo分数阶微分方程,设计了预估-修正算法求解这类方程。在此算法中,首先将非线性方程近似成线性方程并求解出预估解,然后将预估解代入原方程,求解出精度更高的修正解。对于隐式非线性Caputo分数阶微分方程,本文首次构造了一个具有解析解的方程。由于此方程不具有任何显式形式,所以不能应用预估-修正算法求解。对于这类方程,设计出改进的矩阵算法求解数值解。对于Caputo分数阶微分方程组,指出了现有算法中存在的错误,并提出了改正的方法。通过计算实例的检验,说明了本文提出的方法是正确的。最后,设计了求解Caputo分数阶微分方程和方程组的框图方法。由于非零初值条件的影响,不能直接应用Caputo分数阶微分的定义设计框图。为了解决这一问题,设计出时域补偿方法和积分器链方法,并应用不同的方程检验这两种方法,并比较计算结果。计算结果说明,积分器链方法可以构造出更简单的框图,并计算出更精确的数值解。所以,积分器链方法是一种通用的方法,应用积分器链方法可以求解包括隐式非线性Caputo分数阶微分方程在内的各种方程。框图方法是数值算法重要补充,在实际工程中具有重要的价值。应用本文提出的数值算法可以求解Caputo分数阶微分方程,并得到高精度的数值解。另外,本文提出了一组解析解已知的Caputo分数阶微分方程,这些方程可以作为测试问题,用以检验数值算法的性能。