随着科学研究的不断加深与发展,各种各样的微分方程问题已引起人们更为广泛的关注,微分方程的算子理论已成为了现当代数学领域中的重要的研究方向之一.微分算子理论是以物理学中的量子力学为主要背景,并且综合常微分方程,实变函数,偏微分方程,泛函分析,抽象代数等其他理论分支和方法而逐渐发展起来的一门系统的数学理论.它的应用解决了大量数学物理方程以及科学技术等问题,成为了一门重要的数学工具.本文在查阅了大量的相关书籍和原始文献的基础上,结合已学的专业知识,利用分析比较法,从普通的二阶微分方程入手,从以下几个方面研究向量微分算子.　　根据内容本文分为以下五章:　　第一章绪论,主要介绍微分方程的发展及现状.　　第二章在本章中,我们主要研究向量微分方程τY=(?P(t)Y′)′+Q(t)Y的基本性质,通过对P(t), Q(t)的对称性的相关要求,研究微分算式τ的一系列性质.　　第三章在本章中,重点讨论向量微分方程的Sturm-Liouville算子.首先定义Hilbert空间L2((l, m);dt)上的内积(Y, G)=∫mlG?Y dt,然后定义Hilbert空间上的最大算子Tmax,最小算子Tmin,和含有紧支撑全体的算子T0.　　第四章在本章中,为了研究主解问题,将向量微分方程?(P Y′)′+QY=0改写成与之等价的微分系统的形式Y′=A(t)Y+B(t)X, X′=C(t)Y+A?(t)X,再将其转换成更为方便的矩阵微分系统U′=A(t)U+B(t)V, V′=C(t)U?A?(t)V.从而利用Hamilton系统给出相应的主解的形式。　　第五章在本章中,我们由矩阵微分方程的主解形式,进而得到向量微分方程的下有界定义和一种新的Friedrichs扩张。