基于多孔弹性问题和Darcy-Forchheimer问题的研究背景，以及麦克斯韦方程超收敛分析的研究背景，本文分别研究了多孔弹性问题的耦合弱有限元和混合元方法，全解耦的弱有限元方法和非一致网格上的交错有限差分方法，Darcy-Forchheimer问题的二重网格稳定化混合元方法和时谐麦克斯韦方程高阶矩形棱元的超收敛分析。具体内容为:　　第一章我们给出了耦合弱有限元和混合元方法求解多孔弹性问题，用弱有限元逼近位移，用混合元逼近流体的压力和速度。首先，我们介绍了多孔弹性问题的数学模型及其混合元变分形式;之后，我们定义了弱有限元空间和混合元空间，引入了一些投影算子，给出了离散变分格式，并证明了格式的稳定性和存在唯一性。随后，我们得到了半离散和全离散格式下位移、速率和压力关于时间最大模的最优误差估计。误差估计不需要假设约束的单位储存系数c0大于0，并且误差分析中没有用到Gronwall不等式。最后，通过三个数值算例来验证理论分析的准确性和有效性。前两个算例表明在c0＞0和c0=0两种情况下，我们都得到了位移、速率和压力关于时间最大模的最优误差估计。第三个算例是cantilever bracket问题，通过计算，我们发现耦合连续有限元和混合元方法得到的压力成振荡形态，而耦合弱有限元和混合元方法得到的压力光滑稳定，这验证了我们的方法能有效的消除由c0=0引起的压力振荡现象。　　第二章首先，我们回顾了多孔弹性模型，并给出了变分形式。接着，我们引入了最低阶弱有限元空间，并介绍了向量函数和标量函数的弱梯度和弱散度的定义。然后，我们给出了多孔弹性问题的全离散的分离的弱有限元格式。格式分两步分别求解压力和位移，第一步，已知位移的前两层的值，利用流体方程求解压力，第二步，利用求得的压力和力学方程求解位移。这样，我们就把多孔弹性模型完全解耦了。通过格式可知，压力和位移的第一层的值未知，因此，我们又给出了初始层分离的求解格式，在格式中，我们去掉了散度项，因此需要假设初始时间步非常小，保证位移关于时间的变化非常小以致于可以忽略。随后，我们证明了格式的存在唯一性，得到了压力和位移的能量模关于时间和空间的最优误差估计。格式中的稳定化参数是准确估计的。最后，数值实验说明了当c0大于0和c0接近0时，压力和位移的能量模关于时间和空间都是1阶的，这表明数值实验结果与我们的理论分析相吻合。　　第三章首先，我们引入了固体压力和流体速度，将多孔弹性模型等价的转化为多孔弹性问题的四场模型，接着，给出了块中心有限差分和MAC有限差分方法的一些基本符号，以及两个逼近空间和两个等价的逼近格式。格式中，位移和速度的x-分量在单元竖边中点处逼近，位移和速度的y-分量在单元的横边中点处逼近，流体压力和固体压力在单元中心处，这与文献[62]中的交错格式不同，我们的格式未知量数量更少。然后，我们介绍了离散LBB条件，得到了格式的稳定性。随后，通过引入位移的插值，证明了当c0＞0时，位移和压力的离散H1模在非一致网格下具有一阶最优收敛性;在一致网格下，压力的离散H1模、位移的x-分量沿x-方向的差分算子和位移的y-分量沿y-方向的差分算子的离散L2模具有二阶超收敛性，位移的x-(y-)分量沿y-（x-）方向的差分算子在不包含边界项时具有二阶超收敛性，在包含边界项时为1.5阶收敛性。当c0≥0时，我们得到了压力的离散L2模在一致网格下具有二阶超收敛，在非一致网格下具有一阶最优收敛性。最重要的是，稳定性分析和误差估计关于Lamé常数λ∈(0，+∞)都是一致成立的。因此，我们的格式能有效的消除压力振荡和泊松闭锁现象。最后，通过数值实验验证了理论结果。　　第四章我们考虑了Darcy-Forchheimer模型，利用格林公式，得到了混合变分形式，给出了速度u和压力p满足的正则性假设。然后，我们定义了P12-P1元的有限元空间。显然，同阶混合元空间不满足LBB稳定性条件，因此，我们引入了压力映射稳定项，得到了离散变分形式。我们证明了速度和压力的有限元空间满足一个弱的离散LBB条件，从而证明了离散变分形式解的存在唯一性。由于在速度u的值为0处，|u|的导数不存在，因此，我们用光滑函数√ε2+u2的一阶导数近似的代替|u|的一阶导数。利用牛顿修正法，我们给出了二重网格算法。第一步，在粗网格下，求解非线性问题，第二步，利用求得的粗网格上的解，在细网格上，求解线性化的问题，从而得到逼近解。为得到误差估计，我们引入了椭圆投影，得到了它的逼近结果，并证明了在粗网格上，速度和压力的L2误差。然后，我们证明了二重网格方法速度和压力的L2误差估计，得到了粗网格、细网格和参数∈只需满足关系H=O（h1/2）和ε=O（h）。最后，通过三个数值算例来验证二重网格方法的准确性和有效性，前两个算例说明了二重网格方法和稳定的混合元方法得到的误差几乎相同，但是二重网格方法的计算时间更少。第三个算例是注入-产出问题，通过它，也说明了二重网格方法能得到和稳定的混合元方法几乎相同的数值逼近解。　　第五章我们首先回顾了时谐麦克斯韦方程，给出了各个记号的意义。介绍了Nédélec元插值算子和标准的L2投影算子，以及他们的性质，证明了任意阶棱元的超逼近结果。然后，我们分析了二阶Nédélec元的插值超收敛性质，得到了电场E、磁场H和电场的一阶导数和二阶导数的插值超收敛结果，利用四个高斯点，我们定义了标量和向量函数的离散l2范数，利用插值超收敛结果，我们证明了二阶Nédélec元电场E、磁场H和curl(E)具有三阶超收敛性，最后，非一致网格和各向异性网格上的数值结果验证了理论分析。数值结果还表明了电场的一阶导数和二阶导数具有二阶超收敛性。然后，通过相似的分析，我们得到了三阶Nédélec元的插值超收敛性质，利用九个高斯点，我们定义了标量和向量函数的离散l2范数，证明了三阶Nédélec元电场E、磁场H和curl(E)具有四阶超收敛性，数值结果与理论分析相吻合。