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本文共分成四部分第一部分为本文的引言,主要介绍了椭圆偏微分方程水平集几何性质研究的发展及研究成果,接着又介绍了本文中所做的工作,即在二维和三维情形之下讨论了一类具体的椭圆偏微分方程解的水平集凸性的先验估计第二部分为预备知识,我们对应在R2和R3情形下做了一些准备工作,为第三部分和第四部分做准备,提供了理论基础.然后简要叙述了函数凸水平集的概念,推导出了函数水平集的曲率矩阵的一些知识.最后,列出了几个有关极大值原理的定理及其部分证明.第三部分在二维的情形下对一类椭圆偏微分方程解的水平集凸性进行了先验估计.主要构造一个辅助函数,利用极值原理来证明我们所需要的结论：假设Ω为R2中的有界光滑区域,u∈C4(Ω)∩C2(Ω),且u是椭圆方程△u=f(u,(?)u)=P(u)|(?)u|2,在Ω中的一个解.其中P(u)=amum+am-1um-1+...a1u+a0是关于u的多项式.设在Ω上|▽u|≠0,而且u的水平集关于外法向量▽u方向是严格凸的.记K是u的水平集的曲率,则函数K的极小值在aQ上取得.第四部分在三维的情形下对一类椭圆偏微分方程解的水平集的凸性进行了先验估计.由于三维中计算较为复杂,我们需要重组二阶和三阶导数项,来证明结论：设Ω是R3中的有界光滑区域,且u∈C4(Ω)∩C2(Ω)是椭圆方程△u=f(u,(?)u)=P(u)|(?)u|2,在Ω中的一个解.其中P(u)=amum+am-1um-1+...+a1u+a0是关于u的多项式.假设对任意的x∈Ω,有|▽u|≠0,而且u的水平集关于外法向量的水平集▽u是严格凸的.记K是u的水平集的高斯曲率,则函数K在(?)Ω上取得极小值.