随着科学技术的发展，在物理学、化学、生物学、经济学、工程学等诸领域中出现了各种各样的非线性问题．气体动力学、流体力学、边界层理论等中的很多非线性问题，都可以用奇异常微分方程来描述．鉴于奇异常微分方程广泛的应用背景和深刻的数学意义，对它的理论研究引起了许多学者的关注．在非线性微分方程的奇异边值问题方面的研究，也取得了丰富的成果．近年来，经典的Monge—Ampere方程作为一种特殊的非线性常微分方程，在应用数学各领域的的重要作用日益突显，引起了许多数学工作者对这类方程正解的存在性的研究[1][3]，[5]—[7]。 考虑如下边值问题文献[1]中胡守川等研究得到了边值问题(I)中函数f在v=0处非奇异且f在[0，+∞)上连续单增时，边值问题(I)至多存在一个正解及两个正解的充分条件．文献[6]中Lions等研究了如下边值问题其中B={x∈Rn：|c|＜1}是Rn上的单位球，且D2u=(()2u/()xi()xj)是关于u的黑塞矩阵．对完全非线性运算det(D2u)来说，函数f(u)=un可以看做线性的．事实上，在文献[6]中Lions等证明了，当f(u)=un时，边值问题存在唯一特征值λ1，更确切地说，λ1＞0且相应的特征函数ψ1是一个负的凹函数，而任意其他特征函数都是ψ1与一个正常数乘积的形式．另外，注意到二阶椭圆算子或更一般地由Krein—Rutman定理给出了算子的第一个特征值的性质，对于一般函数f，λ1可看作边值问题(II)的歧点，文中所谓次线性和超线性函数f(u)的定义都与un有关．文献[7]中，在f(u)= up，()p，0＜p≠n的条件下，Kutev等将边值问题(II)简化为得到了边值问题(II)唯一非零凸径向对称解的存在性，关于凸径向对称解的讨论，见文献[3]，[7]。 本文运用锥上的不动点理论和逼近技巧，得到了当边值问题(I)中函数f可能在v=0处奇异或函数f可能变号时，边值问题(I)正解的存在性，结果做的比文献[1]，[6]，[7]要广．全文共分两章： 在第一章中，我们首先用函数g(v)+h(v)代替f(v)，借助文献[11]，[42—44]的思想，研究得到了如下边值问题的唯一正解的存在性，其中h(v)可能在v=0处奇异，g(v)在(0，+∞)上关于v非减，h(v)在(0，+∞)上关于v非增．文末给出了例子，说明定理的应用．接下来，主要采用两种方法研究了边值问题(I)当函数f可能在v=0处奇异时，边值问题(I)正解的存在性．一种方法是利用锥上不动点定理，Leray—Schauder型原理及解的逼近技巧，另外一种是上下解方法．此外，还研究了边值问题(I)最小正解的存在性，以及正解存在的充要条件．最后研究了函数f变号时，边值问题(I)正解的存在性。 在第二章中，主要研究当函数f可能在v=0处奇异时，问题(I)多个正解的存在性，我们首先研究了二阶奇异边值问题两个正解的存在性，其中非线性项g+h可能在v=0处奇异，并给出了相关的例子．最后利用了凹泛函和不动点定理，研究了问题(I)三个正解的存在性。