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在1997年，Alves曾经运用变分方法研究了下面一个不含有间断项的微分方程正解的存在性问题-△mu=λh(x)uq+um*-1， x∈RN.其中u≥0,u≠0,u∈D1,m(RN),λ＞0,2≤m＜N,0＜q＜m-1,h(x)在RN上非负可积. 受到启发，本文将研究下面一类含有间断非线性项的微分方程正解存在性问题-△pu=λh(x)H(u-a)uq+up*-1， x∈RN，(1)其中1＜p＜N，0≤q＜p*-1，a＞0，H是单位函数，即H(t)=0，ift≤0，H(t)=1，if t＞0.本论文将在0≤q≤p-1和p-1＜q＜p*-1两种情况下，借助山路引理、Ekeland变分原理、极大极小值原理等讨论该方程正解的存在性和多解性.