在自旋电子学领域，人们一直有这么样一个梦想：在未来的量子计算和通讯中，用纯电场或电压控制自旋流或自旋积累以达到信息存储，传输，执行的目的。因为在这个过程中是没有电荷流参与的，因此这个过程几乎是无耗散的。这个无耗散的纯自旋流或自旋积累可能在最近发现的量子自旋霍尔系统或三维拓扑绝缘体中实现。量子自旋霍尔相是拓扑绝缘体在二维系统中的拓扑相。在拓扑绝缘体中，有一个有限的体带隙，鲁棒的Kramers简并的边缘态(二维系统)或表面态(三维系统)存在于体带隙中。Kramers简并的边缘态和表面态运动方向相反并且携带的自旋也相反，是由体能带决定并受时间反演对称性保护。正是因为拓扑绝缘体具有鲁棒的边缘态或表面态，决定了它具有优良的输运特性和一系列奇特的物理性质。低维拓扑结构(拓扑量子点，拓扑量子线)材料可能会成为未来量子计算和通讯的信息存储或传输的基本介质。并且低维拓扑绝缘体结构与块材料相比具有更大的表面积体积比，尽可能大的范围内剔除了体内杂质态对边缘态或表面态导电的影响，拓扑绝缘体的低维结构为我们提供了一个研究表面态输运性质很好的几何结构。因此，低维拓扑绝缘体材料的研究课题是自旋电子学中一个基础而重要的研究课题。　　本论文主要研究了低维拓扑绝缘体：HgTe拓扑量子点的电子结构性质、Bi2Se3拓扑纳米线的电子结构性质和InN量子井的拓扑相变。HgTe材料是反转带隙，具有很强的自旋轨道耦合效应，是理想的实现拓扑相材料。在已知的三维拓扑绝缘体材料中Bi2Se3是化学计量晶体，纯度高，易生长，而且单狄拉克锥，与Bi1-xSbx等材料相比，在研究拓扑绝缘体表面态上有很明显的优势。InN是第一个利用本征极化电场而在常规半导体中实现的拓扑绝缘体。因而HgTe体系，Bi2Se3体系和InN体系是十分重要的拓扑绝缘体材料研究体系。本论文分为如下六章：　　第一章介绍了自旋电子学的概念，自旋电子学器件的优点和自旋电子学的重要进展，最后着重介绍了量子自旋霍尔效应和拓扑绝缘体的相关概念。　　第二章介绍了自旋轨道耦合的相关概念，并由此引出处理自旋轨道耦合系统常用的k·p有效质量理论。给出常见的闪锌矿和纤锌矿Kane八带哈密顿量。　　第三章研究HgTe拓扑量子点的能带结构和电子态性质。我们给出三维体哈密顿量到二维哈密顿量的约化方法，最后着重研究了拓扑量子点中螺旋的边缘态性质并找出边缘态的解析解，我们的解析解和数值结果一致，并提出在HgTe拓扑量子点中检测边缘态的实验方案。　　第四章研究Bi2Se3拓扑纳米线的能谱结构。我们从三维Bi2Se3拓扑绝缘体四带哈密顿量出发，研究了Bi2Se3纳米线的电子态性质，包括体内态和二维曲面上的表面态，并推导出二维曲面表面态哈密顿量，并从数值上给出表面哈密顿量的有效性。最后我们研究了Bi2Se3纳米线的磁效应，例如Aharonov-Bohm效应，持续流等。　　第五章研究GaN/InN/GaN量子阱拓扑绝缘体相变。基于有效低能k·p模型，我们提出了GaN/InN/GaN量子阱InN薄层可以实现能带反转，发生拓扑相变成为拓扑绝缘体。这一量子相变是由材料本身具有的强的极化电场驱动的。　　第六章是本论文的简要总结。