最优化理论是最优化中一个重要组成部分,也是运筹学中的重要理论基础,它在实际生活中有着广泛的应用。作为最优化理论中的一个重要性质——迫近次梯度对于研究不可微函数的微分性质有着重要的作用。1970年F. H. Clarke利用“广义梯度”定义出第一个“次微分类型”。近几十年来,F. H. Clarke和R. M. Redhee等人给出了几种典型的次微分类型：Clarke次微分、Michel-Penot次微分、Dini次微分、Frechet次微分、m-次微分等,它们用于研究非线性规划问题、minimal time function问题、增广Lagrange乘数问题等等。2004年G Colombo和P. R. Wolenski利用迫近次梯度定义的极限次微分研究了Hilbert空间中常数动态下的最小时间函数问题。2006年,Bernard、Thibault和Zlateva研究了一致凸和一致光滑的Banach空间中的迫近次微分。2007年到2009年M.Soleimani-damaneh利用迫近次微分分别讨论研究了Rn空间中拟凸函数和伪凸函数的—些性质以及可分离Hilbert空间中广义invexity和广义单调性之间的关系。因此知道迫近次微分在变分分析中的应用越来越广泛,这也使得对迫近次梯度的研究得到越来越多专家学者的关注。同时作为研究最优化方法的一个重要工具——凸锥也成为国内外学者研究的焦点。 本文整体上可概括为两部分： 第一部分,首先利用Rn空间和Hilbert空间等空间中迫近次梯度的概念、性质和相关应用,引入Banach空间中正规化对偶映射的概念以及它的一些性质,给出下半连续函数的迫近次梯度的定义。然后讨论了在一致Gateaux光滑Banach空间中下半连续函数的迫近次梯度的必要条件。 第二部分,利用已知的Rn中寻找凸锥临界角的方法,将临界角的概念推广到Banach空间中并且讨论了它在Banach空间中的一些性质,同时利用正规化对偶映射重新给出Gramian矩阵的定义并讨论了多面体锥的一些定理。