【摘 要】
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扩散方程在工业制造、油藏模拟、天体物理、等离子体物理等领域具有广泛的应用.因此设计高效精确的数值格式求解这一类方程至关重要.在数值格式的设计中,由于网格变形以及扩散系数的各向异性和间断性等因素,使得建立一般网格上满足保物理特性的数值格式一直是当前具有挑战性的一个重要课题.本论文主要针对这一课题展开,包括五部分的内容:（1）针对三维扩散问题单元中心型保正有限体积格式设计中的节点未知量插值消去方法——
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扩散方程在工业制造、油藏模拟、天体物理、等离子体物理等领域具有广泛的应用.因此设计高效精确的数值格式求解这一类方程至关重要.在数值格式的设计中,由于网格变形以及扩散系数的各向异性和间断性等因素,使得建立一般网格上满足保物理特性的数值格式一直是当前具有挑战性的一个重要课题.本论文主要针对这一课题展开,包括五部分的内容:（1）针对三维扩散问题单元中心型保正有限体积格式设计中的节点未知量插值消去方法——节点挪移方法[1],给出节点值非负性证明及其相应的安德森加速求解算法;（2）四面体网格上扩散方程的保正有限体积格式;（3）四面体网格上扩散方程的保极值格式;（4）四边形网格上扩散方程的线性化保正格式;（5）非线性扩散方程二阶时间精度的差分格式的性质分析,及其高效的迭代求解算法.第一部分主要是针对三维扩散问题保正有限体积格式设计中的节点未知量插值消去方法[1]——节点挪移方法,从理论上证明用该方法得到的节点值是非负的,并设计了适用于我们格式的迭代加速算法——基于节点值的安德森加速方法,获得了明显的加速效果,克服了由于三维问题几何结构复杂所造成的计算量大的问题.第二部分构造了四面体网格上扩散方程的强保正有限体积格式.与现有的保正格式构造方式不同,该格式从二阶线性格式出发,通过对法向通量进行非线性重构,得到单元中心型保正有限体积格式.该格式的一个主要特征是不再需要假设辅助未知量非负.同时我们证明了该格式在每个非线性Picard迭代步具有强保正性,即当源项和边界条件非负时,线性化格式的非平凡解是严格大于零的.数值算例也验证了该格式具有二阶收敛性,且是保正的.接下来,我们将该方法应用到了三维对流扩散方程扩散项的离散中.对流项采用新的梯度重构方法,所得到的非线性系数是非负的,无需做任何修正.该有限体积格式是守恒的,且具有局部模板.更重要的是,我们证明了非线性格式解的存在性以及强保正性.数值结果表明,我们的格式得到的数值解具有二阶精度,数值通量具有高于一阶的精度.第三部分提出了四面体网格上扩散方程的非线性保极值有限体积格式.通过对已有的二阶线性格式的法向通量进行重构来获得具有局部极值结构的离散通量.在这个过程中,不再需要将辅助未知量表示成周围基本未知量的凸组合,大大降低了辅助未知量计算的难度.所得到的格式是单元中心型的,且是守恒的.数值算例验证了我们的格式具有二阶精度且满足离散极值原理.第四部分构造了一般四边形网格上扩散方程的线性化保正格式.它是由二阶精度的线性格式和非线性保正格式组合而成,分两步进行.首先,用二阶精度的线性格式求出一组近似解,然后用该近似解对保正格式的非线性系数矩阵做线性化,从而得到线性化的保正格式.因此,用该格式求解线性扩散问题时不需要非线性迭代.同时我们也分析了该组合格式满足的一些性质,比如:守恒性、稳定性、保正性以及收敛性.第五部分主要研究非线性扩散方程的二阶时间精度有限差分格式.与经典的Crank-Nicolson格式和二阶向后欧拉格式相比,这是一个两层耦合离散格式;允许大时间步长,不会产生数值振荡.通过引入一种新的归纳论证技术,证明了离散格式解的存在性、唯一性和无条件稳定性,以及时空二阶收敛性.并给出与格式相匹配的Picard 迭代,Picard-Newton（PN）迭代和无导数 Picard-Newton（DFPN）迭代,证明 了迭代解对原问题真解的二阶时空收敛性、Picard迭代解对非线性离散格式解的线性收敛速度以及PN迭代和DFPN迭代解对非线性离散格式解的二次收敛速度,实现了非线性问题的快速求解.数值实验验证了我们的理论结果,表明了 TLCD格式和PN类迭代方法的优越性.
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