有限元分析技术在土木工程和飞机结构上的成功尝试,使其一经提出便吸引了众多人的眼球。随着科技的迅速发展,有限元的理论和应用也在不断成熟,适应着各个领域发展的需求。但随着几何模型变得越来越复杂,有限元分析预处理阶段的网格划分所需时间越来越长,成为制约有限元分析应用和发展的瓶颈。这促使人们寻求一种新的方法来解决这一关键问题。2005年,Hughes等人提出了等几何分析的概念,通过将CAE分析的几何模型与CAD处理的几何模型相统一,希望能使CAD和CAE达到无缝融合。本文就是在这种背景下,对等几何分析的相关问题进行了研究。第二章介绍几种可局部加细的样条,并给出等几何分析的框架,随后把PHT样条用于求解高阶偏微分方程,将利用样条的高阶连续性直接求解和混合有限元方法求解进行了比较。样条函数的光滑性不仅对求解高阶偏微分方程带来了很大的便利,而且得到了相比于混合有限元方法更优的收敛阶。最后对于不同样条得到的刚度矩阵的条件数进行了比较,包括B样条、层次B样条、AST样条、PHT样条。几种可局部加细的样条在有限元分析中的表现不尽相同,对应得到的刚度矩阵条件数相差很大。由此也体现出了PHT样条存在的一些问题,促使我们进一步改进PHT样条。PHT样条基函数在某些剖分下会出现基函数的衰减,本文第三章对此现象进行了分析,并提出了新的基函数构造方法。将修正后的基函数用于曲面逼近和有限元分析求解二阶椭圆方程中,有效地改进了原PHT样条基函数出现的问题。同时,新构造的基函数能够更好地用于等几何分析,对应的刚度矩阵的条件数比原PHT样条基函数减小了很多。等几何分析建立在几何区域的样条表示上,虽然避免了传统有限元分析的网格化过程,但等几何分析面临的另一个关键问题就是几何区域的参数化。本文第四章针对等几何分析中区域的参数化问题进行了探索。不同于之前对整个几何区域的单片样条参数化方法,我们将参数化建立在区域剖分的基础上。对区域进行剖分不仅将复杂的几何区域剖分成简单的子区域,便于参数化,而且在等几何方法求解椭圆偏微分方程上的应用也表明了基于剖分的参数化在区域复杂时优于单片的样条参数化。但这种基于剖分的参数化还有更大的改进空间,我们在最后一章给出了未来工作的展望。