矩阵微分方程在许多领域中都有着较为广泛的应用。其中较为重要的是微分Lyapunov方程和微分Riccati方程,这两类线性和非线性矩阵方程是科学与工程中探讨的重要课题之一,被应用于最优控制理论,动态规划,线性动力系统的模型降阶,统计过滤等领域,由于矩阵微分方程解析解很难求得,那么其数值解法则成为了众多学者研究重心。改进的Douglas分裂方法是一种基于分裂思想的求解微分方程的新方法,考虑将方程右端的复杂函数分裂为多个简单函数,易于快速计算且具有良好的稳定性。本文通过将这一方法应用至矩阵微分方程中,利用方程组的自然三项分裂,得到了矩阵微分方程的改进Douglas分裂格式,该算法的实现只需要在每个时间步求解一个具有多右端项的线性代数系统,并具有良好的稳定性和较高的精度。随后文中就微分Lyapunov方程和微分Riccati方程求解格式进行了研究,证明了方法具有二阶精度,同时我们还证明了该方法能保持微分Lyapunov方程解的对称半正定性。此外,在提出改进的Douglas分裂方法基础上,我们还构造了大规模微分Lyapunov方程和微分Riccati方程的低秩算法,提升了计算和存储效率,最后对低秩算法进行了理论的先验误差分析,数值结果验证了理论分析的正确性。本文主要内容如下:第一部分研究了矩阵微分方程的改进Douglas分裂算法,证明了满秩方法的二阶收敛性以及微分Lyapunov方程解的对称半正定性。该部分通过方程的自然分裂,应用改进Douglas分裂格式,迭代求解出微分方程数值解,证明了方法的二阶收敛性及微分Lyapunov方程求解格式的保结构性,该算法只需要在每个时间步求解一个具有多右端项的线性代数系统,无需在每一时间步求解代数Lyapunov方程。最后进行数值实验,与中点公式、Rosenbrock方法进行对比,说明了算法的有效性。第二部分研究了微分Lyapunov方程和微分Riccati方程的低秩改进Douglas分裂算法,证明了低秩算法的收敛性。该部分基于全秩方法求得的微分Lyapunov方程和微分Riccati方程的数值解,应用QR分解和SVD奇异值分解对数值解列压缩,得到算法的低秩解,证明了低秩算法收敛阶为2。最后本文给出数值实验,验证了该算法的收敛性,类比满秩的改进Douglas分裂算法,突出了低秩改进Douglas分裂算法的优越性。