在过去几年中,拓扑半金属材料引起了大量研究人员的注意。这类材料让我们对拓扑相的探索超出了过去拓扑绝缘体和拓扑超导体的范畴。所谓的半金属系统,指的是系统的导带和价带之间虽然没有能隙,但是能带的接触处态密度为0的系统,而拓扑半金属系统中的导带和价带在k空间的接触处还有鲁棒性,不容易因为小的外界扰动而打开能隙。在狄拉克半金属外尔半金属系统中,导带和价带的接触是若干离散的点,而在环形结半金属系统中,能带的接触是一个封闭的环。除此之外,还有二维半金属系统,它们存在于三维拓扑绝缘体材料的边界上或一些薄膜材料中。这些类型的系统大都在实验上或者通过第一性原理计算被找到。本文主要研究了多重外尔半金属、环形结半金属和双层二维半金属系统。第二章中,本文利用变分波函数法研究了不同陈数J的多重外尔半金属中自旋1/2磁杂质的近藤效应。我们发现对于不同的陈数J,在空间反演对称性存在破缺的情况下,杂质和基质材料电子之间的束缚能总是正的,即,系统总是倾向于形成束缚态。并且,对于更大的陈数J,形成的束缚态更加稳定。由于自旋-轨道耦合的缘故,杂质和传导电子的自旋-自旋关联函数各分量的空间分布Juv（r）（u,v=x,y,z）显示出强烈的各向异性。同时,因为色散关系的各向异性,自旋-自旋关联函在不同方向上的衰减行为也有不同。在J=2和J=3的情况下,自旋-自旋关联函数展示出与J相关的对称性。另外,Jxx和Jyy,以及Jxy和-Jyx之间通过一个π/（2J）旋转相关联。第三章中研究了多重外尔半金属中电子通过方势垒的单粒子散射问题。因为系统的各向异性,电子的散射性质和势垒的方向有关。对于不同的J,垂直方向上的波矢k⊥和其对应的概率流密度j⊥满足关系j⊥∝(k⊥2J-1。在势垒垂直于z轴的情况下,我们发现完全透射角由势垒宽度和入射电子德布罗意波长的几何共振决定。在z方向上,当势垒高度和化学势相等时将出现电导极小值Gmin,并且它和势垒宽度L之间存在关系Gmin ∝1/L1/J。和z方向不同的是,在势垒垂直于x轴的情况下,透射概率的角分布不再是旋转不变的。对于J=2的双重外尔半金属,垂直入射的电子的透射率随着势垒宽度L的增加迅速减小到0,这和经典的非相对论性粒子的情况非常相似。有趣的是在J=3的三重外尔半金属中,垂直入射的电子始终能完全穿透势垒,这和外尔半金属（J=1）时的情况非常相似。第四章利用变分波函数法研究了拥有闭合曲线能带接触的环形结半金属中自旋1/2磁杂质的近藤效应。我们发现当费米面位于环形结时（μ=0）,只有当杂质和基质材料之间的相互作用强度足够大时,杂质才能和传导电子形成束缚态。而当费米面离开环形结,形状成为环面或鼓形时,则总是倾向于形成束缚态。和多重外尔半金属一样,杂质在环形结外尔半金属的自旋-自旋关联函Juv（r）（u,v=x,y,z）的衰减也存在各向异性,在不同方向的长距离上随距离增加分别呈1/|r|2和1/|r|3衰减。x3Juu（x）和z2Juu（z）都在空间振荡,且振荡周期随着费米面从环面变成鼓形而逐渐增大。第五章中研究了双层二维半金属系统中的安德森杂质问题。这个系统可能出现在不同类型的拓扑绝缘体的边界或者某些双层的薄膜结构中。当两层系统之间存在相互作用时,能隙便会打开,得到一个类似绝缘体的能带结构。如果费米面位于能隙中,则近藤屏蔽效应只有在杂质和体系的耦合超过一个临界值时才会发生。如果费米面处态密度不为0,则杂质总是倾向于和体系的电子形成束缚态。杂质与传导电子的自旋-自旋关联函数Juv（r）（u,v=x,y,z）仍然保持各向异性,并且和单层时的情况相差很大。相比单层的时候,杂质和两层材料各自的自旋关联函数都因层间相互作用的存在而发生变形。当耦合强度相同时,总的自旋-自旋关联函数主要决定于费米速度小的那一层。并且,即使磁杂质仅和一层半金属发生相互作用的情况下,它和另一层的自旋-自旋关联函数也不会为0,其中某些分量在杂质周围是铁磁关联的。在安德森杂质的自旋-自旋关联函数计算过程中,本文利矩阵运算法则和哈密顿量是厄米矩阵,其对角化矩阵为幺正矩阵的特性,将计算过程标准化,使得整个计算推导过程相比以前的同类研究更加简洁清晰明了。