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本文我们主要做了两项工作，第一项工作研究了Erd(o)s一篇论文中数论函数F（n）的性质;第二项工作推广了Hsueh-Yung Lin有关Catalan数的一个结果.具体如下: 1.对正整数n（n≥2），正整数组(a1，a2，…，as)满足如下条件:(i)(a1，a2，…，as)中元素两两互素，(ii)对任意i∈{1，2，…，s}，有2≤ai≤n，且若素数p|ai，则p|n.记所有这样的数组构成集合R(n)，定义F（n）为形如a1+…+as的数的最大值，其中(a1，a2，…，as)∈R（n）. 1983年，Erd(o)s证明了对任意正整数k，都存在某个正整数nk，满足F(nk)=nk和ω(nk)=k，其中ω（nk）表示nk的不同素因子个数. 在Erd(o)s相关结论的基础上，我们得到了如下结论: 对任意正整数k及充分大正数x，有#{0＜n≤x:F（n）=n，ω（n）=k}≥(1+o(1))kk/2k-1x/logkx. 2.记第n个Catalan数为Cn:=（2n）!/（（n+1）!n！），2011年，Hsueh-Yung Lin得出了Catalan数的一个同余性质:对任意正整数k≥2，Catalan数C21-1，C22-1，…，C2k-1-1模2k两两不同余，但从第k-1项开始，数列(C2n-1)n≥1模2k是同余的. 我们将他的结论由模2k推广到模一般的素数幂pk，结论如下: 记p为一个奇素数，a，k为满足0≤a＜p和k＞0的整数，那么 (i)当0≤a＜(p+1)/2时，Catalan数Cp1-a，…，Cpk-a模pk两两不同，但从第k项开始，Catalan数列(Cpn-a)n≥1模pk是同余的. (ii)当(p+1）/2≤a＜p时，Catalan数Cp1-a，…，Cpk+1-a模pk两两不同，但从第k+1项开始，Catalan数列(Cpn-a)n≥1模pk是同余的.