由于自然界存在着大量的不等关系，具体地反映在数学领域，就表现为不等量关系的领域要比等量关系的领域要大的多，所以，从某种意义上讲，研究不等式要比研究等式具有更大的用处。而矩阵理论，它不仅是数学的一个重要分支，而且也已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。在矩阵理论中，也有大量的不等关系，很多作者利用各种方法，得到了大量有用的矩阵不等式。矩阵特殊积在矩阵理论的研究和计算方法中都有着十分重要的作用，如矩阵的Kroneoker积在系统控制等工程领域对线性矩阵方程的求解，其它如矩阵的关于Kharti-Rao积和Tracy-Singh积的不等式在经济学模型和统计学模型的大量应用，都说明了研究矩阵特殊积不等式具有重要的应用意义。 张复真教授在文献[2]中，利用一个含有矩阵Kroneoker积的不等式，通过变换于一些系数和矩阵，从而得到一系列的已知的矩阵不等式。我们通过对这个不等式中的符号的互换，从而得到一个定理，对这个定理结论中系数和矩阵的不同取值，进而得到另外一些已知矩阵不等式。这便是我们第一章中的内容。在以上所述的矩阵不等式中，矩阵的逆是在普通意义下的逆，逆矩阵的概念只是对非奇异矩阵才有意义。早在1920年，E．H．Moore提出了广义逆矩阵的概念，由于广义逆矩阵在数理统计，系统理论，优化计算和控制论等许多领域中的重要应用逐渐为人们所认识。因而我们考虑，是否在矩阵广义逆的情况下，上述矩阵不等式也成立?是否也可得到另外一些含有广义逆矩阵的不等式呢?我们在第二章中，在将Albert定理推广到复矩阵的基础上，得到另外的几个含有广义逆矩阵的矩阵不等式。 对分块矩阵而言，C．G．Khatri，C．R．Rao，(1960)和D．S．Tracy，R．P．Singh(1972)分别引入了矩阵的Khatri-Rao积和Tracy-Singh积。矩阵Khatri-Rao积可看作是矩阵Hadamard积的推广，在文献[3，4，5，6]中得到广泛的讨论和应用；而矩阵的Tracy-Singh积可看作是矩阵Kronecher积的推广。在第一、二章中，由矩阵的Kronecher积和Hadarmard积的关系式A o B=Z_n~1(A(?)B)Z_n，由一个统一的矩阵不等式得到一系列已知的矩阵不等式，那么在第三章中，我们由文献[9]，矩阵的Khatri-Rao积和Tracy-Singh积的联系公式。可以利用它得到很多的包括这两种积的矩阵不等式，这些矩阵不等式在统计导，卜，得到了比较广泛的应用.作者Liu在文献【9」中得到了以下几个含有KI、atri一Rao积的矩阵不等式:M一1冈N一!<4入一入人(M冈N)一’，M冈N一(M一‘冈N一’)一’三(V仄丁一了不)“几(M日N)2三MZ口NZ，形如，以上不等式的关于矩阵H adamard积也有类似的结论t‘0]，在本文中，我们给出了这些不等式的另外一种证明方法. 在矩阵论中，向量之间的比较，通常是通过优化式来实现的，C.H.Hardy，J·H.Littleuood和C.Polya首先接触了这方面的内容!川，T.Aildo在这方面作了大量的工作，得到了一系列的结果[l2】.而LSclmr在1911年经典的论文[l司中，获得几个很有用的关于矩阵Hadalnard积的特征值不等式.当矩阵是具有合适阶的分块阵时，便可得到类似的含有矩阵Khatri一鲡积的不等式:!笑乍入‘(人‘)标lill(B)三编tn(胭功一“m*·(濒川，max(加助一久rrla·(A日功三理怂编ax(振)编ax固·当我们考虑A，B是半正定Hermite方阵时，还得到了一些优化不等式.