Volterra积分微分方程在众多领域都有非常广泛的应用，譬如：生物学！人口动力学、控制问题和金融学等方面。这类方程往往来源于与时间有关的实际问题，它不仅仅依赖于当前状态，还依赖于历史状态或物理现象。在科学和工程计算中有许多实际问题，诸如具有记忆性材料的热传导问题、粘弹性问题、核反应堆中的热交换问题等，都可以归结为求解Volterra型积分微分方程问题。由于这类方程具有记忆性，它与传统的常微分方程和偏微分方程相比较，在数值求解时有着本质的区别和困难。因此，如何快速高效地求解Volte rra积分微分方程，已成为积分微分方程领域的研宄热点。谱方法作为求解微分方程的一种重要数值方法，已被广泛应用于科学和工程问题的数值模拟。由于其计算的高精度及整体逼近性，近年来也被逐步应用于积分方程和积分微分方程的数值计算。然而，目前有关带弱奇异核的V o lte rra积分微分方程的谱方法研宄主要基于单区间算法，并不适合于奇性解或长时间的数值模拟。因此，本文将针对带光滑核和弱奇异核的Volterra积分微分方程，发展一种新的LegendreJacobi多步谱配置方法。我们将建立光滑函数和奇异函数的Legendre和Jacobi插值逼近结果，同时导出光滑解和奇性解在H1范数下的误差估计，并通过数值试验验证该方法的有效性。　　本研究分为六个部分：第一章，简单介绍了求解带弱奇异核的Volterra积分微分方程的相关数值方法的研宄进展，并给出本文的研宄动机。第二章，介绍了移位的Jacobi和Legendre多项式及其基本性质，并针对带弱奇异核的Volterra积分微分方程，提出一种新的LegendreJacobi多步谱配置格式，并给出了相应的算法。第三章，针对光滑函数和奇性函数，建立有关Jacobi和Legendre插值逼近结果。第四章，针对光滑解和奇性解,分析LegendreJacobi多步谱配置格式的收敛性，得到hp-型的误差估计。第五章，通过数值算例，验证本文所提出的数值格式的有效性。第六章，对全文进行总结。