本文考虑的问题分为两类：奇异摄动问题以及非线性分数阶微分方程。奇异摄动问题在流体力学、弹性力学、量子力学、声学、光学、化学反应和最优控制等领域有着重要的应用。而带有空间分数阶导数的偏微分方程被用来描述多种领域的问题,位错动力学、瓦斯爆炸、数学金融以及半导体装置中的不规则扩散等等。虽然,这些问题在实际中被大量应用,但是数值求解它们是十分困难的。因此,研究这些问题的稳健有效的数值方法具有重要意义。全文共分五章：第一章,介绍了奇异摄动问题及分数阶微分方程的研究背景、研究进展,以及本文的研究问题及主要工作。第二章,对于一类带有两个小参数的奇异摄动问题,我们考虑了简单迎风有限差分格式。首先,我们对此格式进行分析,得到一个最大模后验误差估计。然后,利用此估计我们构造了一个控制函数,并引入等分布问题。接着,我们构造了一个算法来求解等分布问题。最后,我们给出了一些数值结果来验证我们的理论分析。理论分析及数值实验均证明,本章中我们所设计的算法对于情形βε22≥ρε1是一致收敛的。第三章,仍然考虑与第二章中同样的问题,然而,本章我们所考虑的数值格式是一个加权格式。如同第二章,首先,我们对此格式进行分析,得到一些最大模后验误差估计。然后,利用所得到的估计我们设计了一个控制函数,并引入等分布问题。接着,我们构造了一个算法来求解等分布问题。最后,我们给出了一些数值结果来验证我们的理论分析。数值实验证明,本章中我们所设计的算法对于任何小参数ε2,ε1的选取均是一致收敛的。第四章,我们考虑了一类单参数的奇异摄动问题。所应用的数值格式是三点迎风的四点有限差分格式。首先,我们详细讨论了数值格式的稳定性,以及最大模后验误差估计。然后,利用此估计,我们设计了一个自适应算法,并对其进行了详细分析,证明了由算法所生成的网格的一些性质。最后,我们给出了一些数值结果来验证理论分析。第五章,讨论了一类非线性分数阶微分方程的有限差分WENO格式,并给出了一些数值结果及数值模拟。