本文主要研究一类特殊的热方程,前向-后向热方程的数值方法,包括差分方程的构造,误差估计,数值求解等问题,研究分别对一维问题和二维问题进行展开。 差分方法是解偏微分方程定解问题的常用近似方法之一。文献[22]给出了一维前向-后向热方程的一种差分格式,即在两个子区域分别应用前向和后向差分格式,而在交界线应用二阶中心差分格式,本文对此差分格式进行了改进,在交界线上应用粗网格的中心差分格式。 令u为问题(2.1)的准确解,zji为差分方程组(2.23)-(2.25)的解,定义误差Eji=υ(ih.jT)-zji,则有： 因为本文构造的差分格式对前向-后向热方程而言是隐格式,因此我们用基于区域分解的迭代方法进行数值求解。 这个结果比文[22]中的结果要好。同时,我们对此方法在二维情况下进行了推广,得到： 显格式容易实现,但稳定性条件限制了时间步长的取值,而隐格式虽然无条件稳定,但需要在每个时间步求解代数方程组,Saulyev格式则很好地弥补了这些缺陷,它是无条件稳定的,而且对一般的热方程它是显式的。 本文详细讨论了将SaulyeV格式应用于前向-后向热方程的数值求解,并在此基础上,构造了前向-后向热方程的分组格式。但是对于前向-后向热方程,这些格式都是隐式的,所以本文仍考虑用迭代法求解,并且证明： 定理2.4当α∈(0,1)时,给定的区域分解算法收敛。