矩阵的Drazin逆和群逆在许多领域中扮演着十分重要的角色,如马尔科夫链、算子理论、密码学、微分方程等方面。群逆是一种特殊的Drazin逆,但是并不是所有的方阵都有群逆。因此,对群逆的存在性问题的研究是有必要的,尤其是幂等算子群逆存在性的相关问题。近年来,幂等矩阵多项式的秩和群逆(包括逆)的研究工作也引起了中外学者的关注。本文的主要内容包括两个部分:一是利用幂等矩阵和核空间的性质,讨论了复数域上两个幂等矩阵P和Q在条件(PQ)n=(PQ)nP下的一类矩阵多项式的秩和群逆的相关问题,并且得到了其可逆的一些充要条件。主要结果如下:幂等矩阵P,Q∈Cp×p,在条件(PQ)n=(PQ)nP下,构成的矩阵多项式是T =x1P+y1Q+x2PQ+y2QP+…+x2n(PQ)n+y2n(QP)n+y2n+1(QP)nQ,证明了在系数满足xi,yj∈C,x1y1≠0且(?)时,这类矩阵多项式的的秩与系数的选取无关,得到了其可逆的一些充要条件,也证明了其群逆存在。同时,讨论了在系数满足xi,yj∈C,x1y1≠0且(?)=0时,这类矩阵多项式群逆(包括逆)存在的条件,推广和完善了前人的结论。二是研究了在条件R(AB)=R(BA),BAπBπ=0下,两个具有群逆矩阵A,B的组合A+B+AB和A+B+BA群逆存在的充要条件。同时得到了幂等矩阵P,Q在条件R(PQ)=R(QP)下的等价条件,给出了 P,Q的幂等矩阵多项式aP+bQ+cPQ+dQP群逆存在的充要条件和表达式。