常微分方程在自然科学的很多学科领域都有着重要的应用，如自动控制、电子学装置的设计、弹道计算、飞机和导弹飞行的稳定性以及化学反应过程稳定性的研宄等都可以转化为求解常微分方程或研究常微分方程解的性质.当前，计算机技术的快速发展为常微分方程的应用及理论研究提供了有力的工具.然而，只有一些特殊类型的常微分方程初值问题能够得到用解析式表示的精确解，大量的常微分方程初值问题很难得到其精确解的解析式，有的甚至根本无法用解析式来表示，因此我们只能依赖于数值方法，以获得常微分方程初值问题的数值解.Runge-Kutta方法是求解常微分方程初值问题的经典方法.本文考虑构造求解常微分方程初值问题的高阶隐式辛Runge-Kutta方法和8级6阶显式对称Runge-Kutta方法.在第三章中，我们主要研究了高阶隐式对称辛Runge-Kutta方法的构造.对于高阶隐式对称辛Runge-Kutta方法的构造，我们利用了Hairer和Wanner教授提出的W-变换理论，通过在变换矩阵:中选取不同的参数α,β和γ的值，我们不仅得到了经典的Gauss方法、LobattoⅢA、LobattoⅢB、LobattoⅢC、Lobatto ⅢE、Lobatto ⅢS，而且我们得到了一类新的隐式对称辛Runge-Kutta方法(我们称之为Lobatto ⅢSX方法).我们构造的Lobatto ⅢSX方法的辛性质可以由Hairer和Wanner教授给出的相关结论直接得到.在第四章中，我们主要研究了8级6阶显式对称Runge-Kutta方法的构造.对于高阶显式Runge-Kutta方法构造的困难性和复杂性可以从表格(2-1)轻易地得出.为了克服己有高阶显式方法构造的困难性，我们从8级显式Runge-Kutta方法的一般形式出发，借助Runge-Kutta方法的一般伴随方法(在本文中，我们称之为对称伴随方法)、辛伴随方法(新定义的)给出了一种构造8级6阶显式对称Runge-Kutta方法的新途径.首先，我们利用8级显式Runge-Kutta方法(4.2.1)及其辛伴随方法(4.2.4)得到相应的8级对称辛方法(4.2.5)(详见表4-2),并在A*=AS*及积分公式(b,c)对称的条件下,我们给出了简化阶条件B(p)(p ≤ 6),C(1)和D(1)的化简,再利用得到的C(1)和D(1)的等价性,证明了对称辛方法(4.2.5)对应简化阶条件CS*(1),DS*(1),CS*(2)和DS*(2)的等价关系.其次,我们利用积分公式(b,c)的对称性、A*= C(1)(?)D(1)、Cs*(1)(?)DS*(1)及Cs*(2)(?)DS*(2)的相关结论,对8级6阶显式对称Runge-Kutta方法需要满足的33个阶条件分三步进行了相应的简化.通过这些简化过程,我们得到8级6阶显式对称Runge-Kutta方法需要满足阶条件(4.2.55)式.然后,我们将c2,c3,c4,b2,b3,a43(或a42)看作自由变量,并通过求解阶条件(4.2.55)式,得到8级6阶显式对称Runge-Kutta方法的Butcher表中系数a32,a42(或a43),a52,a53,a54,a62,a63,a72和b4的表达式.最后,我们利用(4.2.6),(4.2.11),(4.2.13),(4.2.14),(4.3.7),(4.3.8),(4.3.9),(4.3.10),(4.3.11),(4.3.12),(4.3.13),(4.3.14)和(4.3.20)等式,通过选择自由变量a43(或a42),c2和c4的值,构造了一类具体的8级6阶显式对称Runge-Kutta方法.