由于金融、数学、计算机领域的学科交叉和深度融合,越来越多的学者们热衷于研究量化交易。量化交易是指以先进的数学模型替代人为的主观判断,利用计算机技术从庞大的历史数据中海选能带来超额收益的多种“大概率”事件以制定策略,极大地减少了投资者情绪波动的影响,避免在市场极度狂热或悲观的情况下作出非理性的投资决策。量化交易具有以下几个方面的特点。(1)纪律性:根据模型的运行结果进行决策,而不是凭风险厌恶程度和经验;(2)系统性:多层次的资产配置、多角度的参考指标和海量的数据来源;(3)寻找套利:通过计算机扫描数据来捕捉错误定价、错误估值带来的机会,从而通过买入低估资产、卖出高估资产而获利;(4)概率取胜:不断从历史数据中挖掘有望重复的规律并加以利用,并通过资产组合取胜。在过去二十年的学术研究中,量化交易逐渐衍生为两个方向:一个是做市商问题,做市商通过买卖报价的适当差额来补偿所提供服务的成本费用,目的是实现一定的利润;另一个是清算问题(执行问题),研究机构投资者的大额头寸清算策略,目的是在期限内清算所有资产。那么如何制定清算策略,来最大限度地降低其预期交易成本或波动风险呢?一般来说,机构投资者可以一次性完成固定的大单交易或分单交易。当投资者选择一次性完成交易时,这一策略很可能对市场产生很大的影响,导致证券价格的变化方向相反,因此投资者不得不承担价格冲击带来的流动性风险;然而,当投资者将交易规模划分为小订单时,交易时间往往较长。虽然这种方法可以有效降低交易规模带来的影响,但交易者在较长的清算时间内不得不承担价格波动的风险。因此,如何平衡各种决策的风险来寻找最优的清算策略成为本文研究的重点。众所周知,订单的交易成本与证券价格和证券数量有关。在固定证券数量的前提下,数学家们开始研究证券的价格动态对清算策略的影响。之所以研究有趣的价格影响,有两个原因:一方面,大额头寸交易造成的价格冲击所带来的流动性风险是人们最不了解的金融风险来源之一(实际意义);另一方面,对基于价格影响的市场模型进行数学分析,有助于不断寻求更好的最优执行策略(理论意义)。最近的许多实证研究表明,股票的短期动量指标是选择市场订单或限制订单的重要变量之一。不幸的是,它没有一个统一和准确的定义。动量指标目前最可能包括买卖量的不平衡(最高的买价限制订单和最低的卖价限制订单之间的数量不平衡)或者交易量的不平衡(执行的买卖市场订单之间的交易量不平衡)。尽管选择动量指标超出了目前的工作范围,我们仍然想了解它。大额头寸的最优清算问题通常分为两个步骤:第一步是研究如何将大订单拆分为多个子订单,然后在一定时间间隔内执行。此时我们需要解决的数学问题是一个最优执行问题,就是将整个订单的最佳数量比例分配给每个单独的时间间隔,从而使执行成本最小化。第二步是通过选择要执行的不同类型订单的数量、报价以及交易场所,在预定的时间间隔内执行每个子订单。此时我们需要考虑的是最优订单安排问题,即在一个时间间隔内,使用市场订单和/或限制订单(可能还有隐藏订单)来优化不同类型的订单数量和价格;还需要考虑最优订单路径问题,即在多个交易场所中,通过多个限制订单簿最优地分配每个子订单。最优清算问题常见的解决方法是先利用随机控制法确定解析解或者数值解,然后使用计算机模拟法进行实证研究。其中,随机控制法中的动态规划法为寻找最优决策提供了良好的理论基础。本文首先回顾了以往学者们的工作,发现数学家们一开始研究单种类型订单的最优执行(最优分割)问题,然后研究混合订单的最优安排和路径问题,现在正在探索短期动量指标的精确定义和其他更加影响证券价格的因素(例如订单深度)。然后我们解释了最优清算领域内的基本名词,例如交易市场中的限制订单(自由报价,在一定价格区间内有机会执行)和市场订单(以最优价格快速买卖),再例如影响证券价格的波动、漂移因素(外生因素)和由于我们的交易引起的临时和永久市场影响(内生因素)。接下来,本文重点回顾了两篇经典文章,包括建立的模型、重要的定理或者结论,以及文章的突出贡献。Almgren和Chriss考虑投资组合的交易策略,目的是最小化波动风险和由临时和永久市场影响引起的交易成本的组合。对于一个简单的线性成本模型,他们在时变清算策略空间中显式地构造了有效边界,在给定的不确定性水平下,有效前沿的期望成本最小。他们研究的另一个分支是对于除风险中性外的所有风险规避水平,最优执行交易都有“半衰期”,它是一个理想的执行时间。并且交易的半衰期与清算的具体时间无关,它是证券的流动性、波动性以及交易者风险厌恶程度的函数。如果特定的清算时间相对于交易的半衰期较短,那么人们可以预期交易成本将由交易成本本身支配;如果交易时间相对于交易的半衰期很长,那么人们可以预期大部分的清算将在限定时间之前进行。最后他们发现通过使策略适应所揭示的信息(例如新闻事件、盈利公告等),只能获得非常小的收益。Guéant等人讨论的是限制订单的资产组合清算。他们将最优交易计划(最优执行)与必须发送到限制订单簿以优化清算组合的限制订单价格联系起来。就模型而言,限制订单与市场之间的相互作用是通过一个与“公平价格”有关的点过程来建模的。然后他们提供了当交易者愿意清算一个投资组合时,最优报价的简便计算表达式。他们还采用Hamilton-Jacobi-Bellman方程来同时解决涉及非执行风险和价格风险的控制问题。最后通过数值算例和比较静力学的研究,他们得出了以下关于自由报价的结论:(1)剩余股票数量越多,报价越低;(2)当时间范围越来越近,报价越低;(3)漂移项越高,报价越高;(4)波动项越高,报价越低;(5)限制订单的执行强度会影响报价;(6)清算成本越高,报价越低;(7)风险厌恶程度越高,报价越低。之后,我们详细介绍了最优停止问题。它是随机控制的一种模型,关注的是选择一个时间来采取一个特定的行动,以便最大化预期的回报或最小化预期的成本。在这种情况下,停止时间本身成为控制的一部分,并直接影响结束时间。最优停止问题可以在统计学、经济学和数学金融领域找到。最优停时模型的核心是将最优策略的解转化成一个变分不等式PDE的解,而且可以找到停止区域和最优停时。目前解决最优停时的方法有三种:前两种是鞅方法,分别是逆向归纳法,适用于在离散有限时间范围;和Snell包络法,它是最重要的方法;还有一种是马尔可夫法,适用于含有强马尔可夫过程的问题。我们还举了一个在金融领域中经典的最优停时问题:美式看跌期权。最后我们详细分析了Yam和Zhou的模型,尽管他们仍然没有定义一个精确的动量指标,但他们通过均值回归过程对短期动量指标进行了显式的建模。并且考虑了一个子阶的最优排序问题,然后将排序问题表示为一个最优的多停问题。他们最重要的贡献是将最优多停问题转化成最优单停问题,本文也通过数学归纳法对他们的最优策略和最优停时进行了详细的证明。