磁共振波谱是研究物质化学成分与分子结构的重要手段之一,在化学、生物和医学等领域有着广泛应用。分子自扩散反应分子的可游动性,磁共振扩散排序谱利用此性质通过结合扩散维和频率维,根据不同分子的扩散系数不同,可以在不破坏原有混合物的结构下对混合物进行组分分离。为了提高谱图的分辨率和减少谱峰重叠,扩散维还可以与传统二维谱结合形成三维扩散谱。但是,高维谱的采样时间随着维度的增加而指数增长,这限制了高维谱在生物化学等诸多领域的应用。降低采样时间的一种典型方法是在间接维采集部分磁共振信号。例如高维扩散谱,其间接维平面的两个维度分别是时间维和指数衰减维,时间维信号是多个一阶复指数信号的叠加,可由傅里叶变换反演至频谱,而指数衰减维信号则由实验设置的扩散梯度产生,可以建模为二阶指数信号的叠加,其可由拉普拉斯逆变换反演至扩散系数的分布。对高维扩散谱欠采样就是要对混合时间维-指数衰减维形成的间接维平面进行欠采样。由于平面上的每个点同时包含频率和扩散信息,在此平面欠采样会造成两个维度的信号同时丢失,这为信号重建提出了挑战。当前前沿方法是约束谱的稀疏性来重建扩散谱,但该方法每个扩散谱的点在重建中是孤立的,未利用扩散谱本身的物理性质(即同种物质的扩散系数相同,不同物质扩散系数基本不同),容易造成重建谱及扩散系数误差。因此,开发高保真的扩散谱重建方法很有必要,这也是本文的研究内容。本文的主要研究工作包括:(1)利用同种物质扩散系数相同,假设反演的扩散谱具有低秩特性,提出一种基于谱平面低秩和稀疏的扩散谱欠采样重建模型及其数值算法。实验结果表明所提方法能够重建扩散系数更准确的扩散谱,谱中伪峰及噪声更少,且反演的扩散系数具有更好的一致性。(2)提出一种基于低秩Hankel矩阵的混合时间维-指数衰减维信号重建方法并利用交替方向求解。该方法约束了时间维的时域信号转Hankel矩阵的低秩特性与指数衰减信号维经拉普拉斯逆变换后的稀疏性。实验结果表明,所提方法重建误差更小,且与全采样的谱峰强度相关性更高。本文所提方法均以磁共振扩散谱作为应用实例,但这些方法也可以推广到采样信号能够建模为混合时间维-指数衰减维信号的其他磁共振谱,例如混合时间维和弛豫延迟维的磁共振信号。此外,所提方法在重建计算时间和更加符合物理特性的重建模型方面可以进一步优化。