线弹性断裂力学(LEFM)是断裂理论中最早的、也是发展最完善的一个分支。研究断裂力学主要是研究各种复杂缺陷在受力情形下的应力场和确定其裂纹尖端的应力强度因子。通常主要用Westergaard应力函数法、Muskhelishvili方法等方法进行研究。　　 本文主要用Muskhelishvili方法研究了两种复杂缺陷：带不对称三裂纹的圆形孔口和带四条裂纹的椭圆孔口。将平面弹性问题转化为求解满足一定边界条件的两个复势函数Φ(z)，Ψ(z)。在求解平面孔洞或裂纹问题的各种方法中，复变函数方法(Muskhelishvili方法及其推广)是较为常见和实用的。　　 Muskhelishvili方法就是通过构造保角映射函数，把物理平面上的区域映射成相平面上的单位圆的内部(或外部)或上半平面(或下半平面)，再利用Cauchy积分公式和解析函数优越性，可以求的这些复杂缺陷在无穷远处受单向拉伸作用下Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型裂纹的应力强度因子的精确解析解。在极限情形下，所得结果可以还原为已有结果，而且当改变裂纹长度和孔口的长短半轴时，不但可以模拟已有的实际模型，如十字裂纹、T型裂纹等，最重要的是又得到一个新型裂纹L型裂纹并得到了其裂纹尖端的应力强度因子的解析解。这些结果在工程等实际问题中都有重要的意义和应用价值。运用复变函数方法的关键是能够找到恰当的保角映射函数，其创新点和难点之一也是在于构造这个保角映射。　　 准晶是近二十年来被发现的一种新的固体结构和新材料，准晶是具有准周期平移格子构造的固体，其中的原子常呈定向有序排列，但不作周期性平移重复，其对称要素包含与晶体空间格子不相容的对称(如5次对称轴).准晶弹性问题的刻画不仅需要描写晶格振动的声子场，还需要刻画原子准周期排列的相位子场，而且二者是相互耦合的.自准晶被发现以来，在准晶各方面问题的研究已取得了若干重要成果。　　 本文发展了经典弹性复变方法和保角映射法，把经典弹性研究过的带不对称三裂纹的圆形孔口和带四条裂纹的椭圆孔口的复杂缺陷问题推广到一维六方准晶中，并且得到了这些复杂缺陷的声子场与相位子场的Ⅲ型裂纹问题的应力强度因子的精确解析解。在极限情形下，所得结果可以还原为已有结果，而且当改变裂纹长度和孔口半径时，不但可以模拟已有的实际模型，如十字裂纹、T型裂纹等，最重要的是又得到一个新型裂纹L型裂纹及其裂纹尖端的应力强度因子的解析解。仅声子场而言，这些结果与经典弹性的结果完全一致。