【摘 要】
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表示论在抽象代数中有着广泛的应用.比如在群论、结合代数及李代数研究中,它主要是将代数结构中的元素“表示”成向量空间上的线性变换,来研究代数结构的性质.特别地,仿射李代数的顶点表示在数学和物理领域都有非常重要的意义和应用.1978年,Lepowsky和Wilson[36]在研究仿射李代数（1）1时首先给出它的主实现顶点表示;随后在1981年,他们又和Kac及Kazhdan合作推广了上述工作,得到仿射
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表示论在抽象代数中有着广泛的应用.比如在群论、结合代数及李代数研究中,它主要是将代数结构中的元素“表示”成向量空间上的线性变换,来研究代数结构的性质.特别地,仿射李代数的顶点表示在数学和物理领域都有非常重要的意义和应用.1978年,Lepowsky和Wilson[36]在研究仿射李代数（1）1时首先给出它的主实现顶点表示;随后在1981年,他们又和Kac及Kazhdan合作推广了上述工作,得到仿射李代数所有ADE型及其主实现顶点表示[33].齐次顶点算子表示是基本表示的另一种实现,它是由Frenkel和Kac[14]在构造simple-laced型仿射李代数的基本表示中得到的.在1988年, Drinfeld引入了量子仿射代数g的新实现,通常称之为量子包络代数g的Drinfeld量子仿射化[6].这种新实现有很多应用,比如利用它来研究量子仿射代数的顶点表示[9,23,44]以及有限维表示[2,3].其中在文献[9], Frenkel和Jing研究了非扭型量子仿射代数的齐次顶点算子表示;随后在文献[23] Jing给出扭型量子仿射代数的顶点表示.环面代数作为高维仿射李代数的一个重要分支,最初是由Frenkel[8]通过仿射Kac-Moody代数的顶点表示得到的.作为多重loop代数的泛中心扩张,环面代数的定义最早出现在文献[39]中,同时他们指出环面代数的结构性质和仿射Kac-Moody代数相似.量子环面代数的概念是由Ginzburg[18]等人在研究朗兰兹纲领中的代数表面时给出的.在文献[23], Jing通过Drinfeld实现和顶点表示,得到更一般的量子环面Kac-Moody代数,同时也发现它的量子Serre关系式和Hall-Littlewood对称式的某些非平凡关系式之间有着紧密联系.环面李代数有很多有意义的应用,比如环面Schur-Weyl对偶[46]、顶点表示[42]、Mckay对应[13]、环面作用的一层表示[43,47]和量子仿射代数的高层的表示[45]等.与仿射代数理论类似,量子环面代数同样也有扭型结构.但是对于扭型量子环面代数的研究并不多.在文献[17]中, Jing和Gao构造出一类量子TKK代数.它是以量子一般线性代数作用在量子环面代数[16]上为基础,运用齐次q-形变顶点算子得到的,并且他们发现这类代数的Serre关系式和某些非平凡Hall-Littlewood多项式的组合式等价.在本文的第二章,我们以这种量子TKK代数为基础,构造出类似这种代数的扭型情况,给出一种1型的扭量子环面代数.同时通过扭顶点算子作用在Fock空间上,我们给出这种新的量子TKK代数的明确实现[27],并且构造出它的Serre关系式.在文献[24]中,通过对于Kac-Moody代数形变, Jing构造了量子仿射代数的主实现顶点表示.但是鉴于当时对这种代数表示的Serre关系式研究方法有限,还没有得到它的Serre关系式.另一方面,文献[9,23]已经研究了量子齐次表示的构造.但是,类似于仿射李代数主表示的量子化结构仍然不知道.因此在本文第三章,作为对仿射李代数主表示量子化的初步研究,我们构造出Kac-Moody代数的一类主分次量子loop代数[28],并且得到它的量子Serre关系.
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