【摘 要】
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本文研究二维非线性Riemann-Liouville型时间分数阶四阶扩散方程的Galerkin混合元方法和二维非线性时空分数阶扩散方程的两层网格Galerkin方法,具体研究内容如下.第一部分,结合时间二阶离散格式的Galerkin混合有限元方法,求解具有四阶导数项的非线性时间分数阶扩散方程.首先引入一个辅助变量σ=?u,将四阶问题变为具有两个方程的耦合系统;进一步提出时间分数阶导数新的二阶逼近公
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本文研究二维非线性Riemann-Liouville型时间分数阶四阶扩散方程的Galerkin混合元方法和二维非线性时空分数阶扩散方程的两层网格Galerkin方法,具体研究内容如下.第一部分,结合时间二阶离散格式的Galerkin混合有限元方法,求解具有四阶导数项的非线性时间分数阶扩散方程.首先引入一个辅助变量σ=?u,将四阶问题变为具有两个方程的耦合系统;进一步提出时间分数阶导数新的二阶逼近公式,在时tn-（σ/2）处采用一类二阶离散格式;然后形成弱形式和全离散混合元数值格式;详细证明数值格式的稳定性、混合元解的存在唯一性并推导先验误差估计;最后,通过一个二维数值例子对提出的数值格式的有效性进行了数值验证,同时也说明了误差理论结果的正确性.第二部分,为了提高计算效率,利用两层网格有限元算法求解二维非线性时空分数阶扩散方程.首先采用二阶向后差分格式逼近时间方向,其中分数阶时间导数采用WSGD算子逼近.为了缩短标准有限元方法的计算时间,采用两层网格有限元算法进行计算.具体算法是在粗网格上迭代求解一个非线性系统,然后在细网格上求解一个线性系统;证明两层网格算法的格式稳定性,推导具有(O(?t2+?r+1-η+H2r+2-2η)收敛结果的基于分数阶模的先验误差估计;最后,通过一个二维例子的数值计算,验证两层网格有限元算法能够提升计算效率,缩短计算时间.同时也验证了分数阶模误差估计理论结果的正确性.
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