随着科技的发展,方程的非线性问题在自然科学和社会科学等领域的作用越来越大,物理、化学、工程、生物、经济学等领域都存在着很多非线性问题,要解决这些非线性问题,就需要建立非线性偏微分方程来求解.本文要研究的就是一类非常重要的非线性偏微分方程Benjamin-Bona-Mahony-Burgers(BBMB)方程.在物理学中,BBMB方程的色散效应与BBM方程相同,然而耗散效应与Burgers方程相同;在物理意义上,含有耗散项的方程能很好的预测和解释水波,孔径传播等现象.同时BBMB方程是Korteweg-de Vries-Burgers(KdVB)方程的一种替代模型.近年来,许多研究者从数学理论和物理意义上研究了BBMB方程的解的性态,而且还利用有限差分、有限元或区域分解方法讨论了其方程的数值解.这篇文章主要讨论了 BBMB方程的降维模型及其在分布式反馈控制问题中的应用.对于BBMB方程空间的研究是基于有限元(FEM)方法用B样条函数进行逼近的.首先利用变分公式找到BBMB方程的变分形式,根据空间域的半离散化引出半离散形式,其次构造二次样条函数进行逼近,然后将方程系统写成含有N个方程和N个未知数的非线性常微分方程,最终以平衡解为出发点得到数值解,我们用这些解生成了瞬像集.其中为了确定逼近子空间的基函数,我们先说明用瞬像集(snapshots)来作为降维基的Centroidal Voronoi Tessellation(CVT)方法.首先介绍Voronoi区域,给出质心的定义,当Voronoi镶嵌区域的生成元与质心重合的时候,该镶嵌称为中心体镶嵌(CVT),并讨论了CVT的优化特性.然后我们介绍了一种构造CVT基的方法,即利用有限元函数的系数向量进行构造.为了进行比较,简单的介绍一下Proper Orthogonal Decomposi-tion(POD)方法.POD 方法也是由一组瞬像向量开始的,由瞬像向量进而构造瞬像矩阵,可以通过计算矩阵的奇异值分解来确定POD基,也可以计算相关矩阵的特征值来确定POD基.然后我们介绍了 POD基的一些性质.我们也可以根据函数而不是向量来构造POD基.有了降维基,我们就可以构建BBMB方程的降维模型了.当然任何一种求解方法都会存在一定的误差,我们分析了误差的来源,并且通过数值实验的具体计算,对两种降维模型进行了比较,我们得出了 POD和CVT具有相似精确度的结论.文章的最后一部分介绍了 BBMB方程的反馈控制系统.在分布式反馈控制系统中的应用主要通过Centroidal Voronoi Tessellation(CVT)方法来实现.最后我们对BBMB方程的具体例子进行了计算实验,把非受控解与全维受控解和降维受控解都进行了比较.得到的解都很稳定,所以全维受控和降维受控几乎具有相同的效果.