插值在函数逼近的理论研究和实际应用中占据着重要的地位。在科学计算中,通常要求插值算子在满足精度的前提下,还要保持函数的某些性质。这些性质中,单调性和守恒性是两个重要方面。具有这样性质的高阶插值算子在流体力学计算和数值天气预报等领域中具有重要应用价值。本文围绕高阶保单调保守恒插值算子这一课题开展研究。本文的主要工作如下:1.基于样条函数理论与卷积的性质,首先提出一个新的一维样条函数。然后利用张量积运算,将一维样条函数推广到二维空间中。在一维样条函数及其二维推广的基础上,构造了相应的一维和二维拟插值算子,通过理论分析可知,拟插值算子具有保单调性质,并且是全局保守恒的。2.从多项式插值角度出发,首先提出一个新的一维插值算子,然后利用不完全双二次插值,将一维插值算子推广到二维,得到一个二维插值算子。通过分析推导可知,一维和二维多项式插值算子是保单调和保守恒的。3.基于某些用于计算流体力学中的一维数值格式,导出了几个一维保单调保守恒插值算子。4.将得到的二维拟插值算子和多项式插值算子作为结构自适应网格加密(SAMR)框架中的细化插值算子,通过二维Euler方程的几个具体算例来验证这两个保单调保守恒插值算子在SAMR中的有效性。