本文第一部分通过用生成元及其满足的关系来定义有限生成Abelian群，将有限生成Abelian群同构类的问题与主理想整环上矩阵的相关知识联系起来，并结合有限生成Abelian群的结构定理，给出有限生成Abelian群的同构类的计算方法，使得对于所给的有限生成Abelian群，均可以通过此方法计算出它的同构类。最后，把该方法在计算机上实现，使计算变得更加便利。　　本文第二部分主要对整环上的Gr(o)bner基的性质进行研究，并且介绍了Gr(o)bner基在编码方面的一些应用。Gr(o)bner基理论就是在n元多项式环F[x1,x2,…,xn]上的算法，这一理论的形成与发展经历了几十年的时间。随着Gr(o)bner基理论及其算法的不断完善，Gr(o)bner基在许多领域都得到了广泛的应用与发展，如代数方程组的求解、图论问题、计算代数数论、代数几何、交换代数和多项式理想理论、整数规划、图像处理、密码学和编码学等。首先，本部分将域上的高斯表示与高斯基的概念推广到整环上，研究了整环上高斯生成集合与Gr(o)bner基的关系；然后，讨论了高斯基与Gr(o)bner基的关系；最后介绍了Gr(o)bner基在编码上的应用，通过编码的定义集合，构建一个系统，然后运用这个系统的理想的Gr(o)bner基来确定编码的距离。　　全文共分为四章：　　第一章，简要介绍了有限生成Abelian群以及Gr(o)bner基的发展历史及研究现状。　　第二章，主要运用主理想整环上的矩阵的相关知识，结合有限生成Abelian群的结构定理，给出了由生成元和关系所定义的有限生成Abelian群的同构类的计算方法。　　第三章，探讨了整环上的Gr(o)bner基与高斯生成集合的关系以及高斯基与Gr(o)bner基的关系；简要介绍了Gr(o)bner基在编码上的应用，介绍了用Gr(o)bner基来确定编码距离的方法。　　第四章，总结与展望。