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本文分三个部分,第一部分：研究特殊形式的非线性微分方程的解的存在性问题。
复域上的微分方程理论是非常重要和非常有趣的,研究微分方程的方法也是多样的。Nevanlinna理论和Wiman-Valiron理论是研究复域上微分方程理论的强有力的工具。德国数学家H.Wittich及其学生们在上个世纪50和60年代使用Nevanlinna理论系统研究复域上微分方程理论。众所周知,对线性微分方程f(n)+an-1(z)f(n-1)+…+a1(z)f1+a0(z)f=0(0.1)当其系数a0(z),a1(z),…,an-1(z)皆为整函数时,其所有解都是整函数。
线性微分方程理论中,H.Wittich首先得到下面重要而又经典的定理,定理A对线性微分方程f(n)+An-1(z)f(n-1)+…+A1(z)f1+A0(z)f=0(0.2)方程(0.2)的解都是增长级有穷的整函数解当且仅当系数A0(z),A1(z),…,An-1(z)都是多项式。
齐次线性微分方程及非齐线性微分方程理论已相当系统和完善,但对非线性微分方程,由于可以使用的工具极少,关于其解的存在性或不存在性的讨论也是非常少的。
关于非线性微分方程解的问题,最近李平和杨重骏对于非常特殊的非线性微分方程做了一些研究,得到了一些有趣的结果。
同时,他们提出如下的猜想:
猜想设P1(z),P2(z)和P3(z)都是非零多项式。当P1(z)／P3(z)是非零常数,且P2(z)／P3(z)不是任一个有理函数的平方时,方程P1(z)f2+P2(z)(f)2=P3(z)没有超越亚纯解。
事实上这个猜想是不对的,例如f(z)=cos√z是微分方程f2+4z(f)2=1的一个超越亚纯解。
我们对这一猜想进行更广泛地研究,我们研究下列形式的微分方程f2+R(z)(f(k))2=Q(z)(0.3)其中R(z),Q(z)为有理函数。
首先我们研究下列形式的微分方程w2+P2(z)(w(K))2=Q(z),(0.4)其中P(z),Q(z)为非零多项式,我们有定理2.1.6若f(z)是微分方程(0.4)的一个超越亚纯解,则P(z)≡A(其中A为常数),Q(z)≡B(其中B为常数),k=2n+1(其中n为某一非负整数),且f(z)=bcos(az+c),其中a,b,c是满足Aak=±1,b2=B的常数。
对微分方程
f2+(z—a)P2(z)(f(k))2=Q(z)(0.5)其中P(z),Q(z)是非零多项式,我们有定理2.1.7若f(z)是方程(0.5)的一个超越亚纯解,则P(z),Q(z)都是常数,且k=1,f(z)=a0cos(b√z-a),其中a0,b是常数,更进一步,我们有P(z)=±2／b,Q(z)=a20。
对微分方程
f2+1／P2(z)(f(k))2=Q(z)(0.6)其中P(z)是一个非常数多项式,Q(z)是一个有理函数,我们有定理2.1.8设f(z)是方程(0.6)的一个超越亚纯解,则k为奇数,Q(z)是一个多项式。更进一步,若k=1,则Q(z)≡C(其中C为常数),且f(z)有形式f(z)=Acosp(z),其中A是满足A2=C的常数,p(Z)=±P(z)。
第二部分：研究代数微分方程解的增长性问题。增长性是代数微分方程解的基本特性,对一阶代数微分方程,Gol’dberg证明了定理3.1.1.设P(u1,u2,u3)是关于u1,u2,u3的多项式,则一阶微分方程P(z,f,f)=0的所有超越亚纯解的增长级都是有穷的。
对如下形式的一阶代数微分方程a(z)w2+(b2(z)w2+b1(z)w+b0(z))w=d3(z)w3+d2(z)w2+d1(z)w+d0(z)(0.7)廖良文和杨重骏证明了如下结论:
定理3.1.2.若degd2(z)≠dega(z)-1且f(z)是方程(0.7)的一个整函数解,则P(f)≥1。
更进一步,对方程(0.7),我们有如下的结论:
定理3.2.1.若f(z)是方程(0.7)的一个超越整函数解,则一定有如下情形:
(1)若d3(z)不恒为零,则degd3(z)≥degb2(z)且p(f)=degd3-degb2÷1；
(2)若d3(z)≡0,b2(z)不恒为零,则b2(2)为一个常数且p(f)=1；
(3)若d3(z)≡0,b2(z)≡0,进一步地,若a(z)不恒为零,则degb1+1>dega,且p(f)=degb1-dega+1；若a(z)≡0,b1(z)不恒为零,则degd2+1>degb1且p(f)=degd2-degb1+1；
(4)若d3(z)≡0,b2(z)≡0,a(z)≡0,b1(z)≡0,则d2(z)≡0,b0(z)不恒为零且p(f)=degd1-degb0+1。
对一阶代数微分方程C(z,w)(w)2+B(z,w)w+A(z,w)=0(0.8)其中C(z,w),B(z,w)和A(z,w)是关于z,w的多项式,我们有定理3.2.2.代数微分方程(0.8)的任何整函数解的增长级都是正整数。
本文的第三部分是关于亚纯函数的唯一性问题。
函数唯一性问题即在何种条件下可以确定只有一个函数满足所给条件。对一个多项式来说,如果已知多项式的所有零点,则除去一个常数外,多项式是唯一确定的,对于超越整函数或亚纯函数来说却不然。1976年,Rubel和C.C.Yang首先研究整函数和其导数具有公共值的问题,得到如下结论:
定理4.1.1.设f(z)为一个非常数的整函数,若f(z)和f(z)有两个不同的有限的CM公共值,则有f(z)≡F(z)。
最近王建平得到如下的结论:定理4.1.3.设f(z)为一个非常数的整函数,Q(z)为q(≥1)次的多项式,k为大于q的正整数。若f(z)和f(z)为CM分担Q(z),且当f(z)=Q(z)时,f(k)(z)=Q(z),则有f(z)≡f(z)。
事实上,f(z)是超越的,则条件k>q不是必要的,我们证明了如下的结论:定理4.1.5.设f(2)为一个超越整函数,Q(z)为q(≥1)次的多项式,k≥2,若f(z)和f(z)为CM分担Q(z),且当f(z)=Q(z)时,f(k)(z)=Q(z),则有f(z)≡f(z)。