本文主要研究内容属于凸几何领域,研究重点是Loomis-Whitney型不等式及相关凸体几何问题。经典的Loomis-Whitney不等式是体积与投影测度之间的一种关系。Ball-Loomis-Whitney不等式是经典Loomis-Whitney不等式的推广,它们都是离散形式的。在偶迷向测度下建立的Loomis-Whitney不等式是Ball-Loomis-Whitney不等式的推广,它是离散到连续的一种发展。本文致力于投影体和相关问题的研究以及建立关于标准化Lp投影体的Loomis-Whitney型不等式。本文的研究工作可以分为三个部分。第一部分,我们定义了混合的Lp表面积测度以及建立了混合的Lp投影不等式。通过混合体积的变分公式我们导出关于两个凸体的混合的Lp表面积测度,并且得到对应的Lp,t混合体积以及它的Lp型Minkowski不等式。再根据混合的Lp表面积测度的定义,我们定义混合的Lp投影体,进而建立混合的Lp投影不等式。第二部分,我们在迷向测度下建立了关于标准化Lp投影体的Loomis-Whitney型不等式。首先,对于p∈[1,∞],在迷向测度下我们给出了加权的Lp带包形（zonoid）的体积下界估计。然后,根据加权的Lp带包形的体积下界估计,我们建立关于体积标准化的Lp投影体的Loomis-Whitney型不等式,并且给出等式成立的条件。第三部分,我们对凸体中的一些L∞问题以及关于混合体的不等式问题进行了研究。根据体积标准化的L∞投影体和L∞质心体的定义,我们能发现它们有一个包含关系,进而可直接导出两个重要的仿射等周不等式的L∞表达形式。最后,我们根据混合体的定义和性质推导出了几个关于混合体的不等式。