所谓次黎曼流形，粗略地说，就是被赋予了一个分布以及该分布上的一个纤维内积的流形，当考虑的分布为整个切丛，次黎曼流形就成为黎曼流形。几何控制理论中的许多经典问题最后都转化为次黎曼流形上的测地线问题。这些理论是研究机器人手臂运动及机器人导航系统，薄壁结构以及桥梁悬臂梁的设计等的理想框架。次黎曼流形与黎曼流形有着一些本质的差异，如:次黎曼流形的Hausdorff维数大于流形的拓扑维数;次黎曼流形上存在奇异测地线，而黎曼流形上不存在等等。　　一个自然的问题是:一个赋予不定度量的次黎曼流形——次半黎曼流形有何几何物理特性？该流形上的测地线与次黎曼流形相比有何不同？这是一个全新的课题，就我们所知，该问题尚未得到系统深入的研究。次半黎曼流形中最典型的情形是取度量惯性指数为1，这时也称其为次洛仑兹流形。本文主要研究次洛仑兹流形上的测地线问题。　　本文的第一部分研究了Engel群上的次洛仑兹水平曲线以及非类空测地线的局部最优性。Engel群是控制理论中广义Dido问题的模型空间，它是最低维的非二步括号生成群。我们首先得到Engel群上次洛仑兹水平曲线的充要条件，并结合两个特例说明连接两点的水平曲线的复杂性，其次证明了次洛仑兹李群上水平曲线的左平移不变性;然后通过变分及逆Schiwartz不等式证明了类时测地线的局部最长性，最后得到Engel群上非类空测地线的完全描述。　　本文第二部分首先利用类空向量空间的性质证明了Engel群上类空测地线的局部最短性，然后引入椭圆坐标，使得哈密尔顿系统中的拟钟摆方程被转化为简单的一阶线性常微分方程，从而得到类空测地线的表达式。最后研究了次洛仑兹流形上的麦克斯韦点，并给出类空测地线关于某个对称算子的麦克斯韦集。　　对于次黎曼测地线来说，最基本的问题有两个:局部最优性及奇异测地线的存在性。本文的第三部分通过对一个二步生成群的研究得到了次洛仑兹流形上奇异测地线的存在性。我们首先分析了这个二步生成群上正规测地线的存在性、条数以及弧长，同时得到各类测地线可达集的一个描述，然后我们找到流形上的一些点，从这些点到原点存在奇异测地线相连接。　　由于Ricci流可以用来研究流形上测地流的拓扑性质[51，52]，我们希望将这一有趣的方法进行推广，利用Ricci流来研究被赋予退化度量的流形上的测地线以及测地流。本文的最后一部分就是在此方面的一个初步尝试。我们通过对Ricci算子以及拟Ricci算子线性化结构的分析，得到曲率有界Ricci流以及拟Ricci流的稳定性。