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在这篇博士论文中,我们主要考虑了两类问题.其一是在理论方面,我们给出了一个关于全局吸引子的分形维数估计方法和证明指数吸引子存在性的新方法;其二是研究了强阻尼Kirchhoff型波方程的适定性和全局吸引子的存在性.现有的关于全局吸引子的维数估计方法,按适用对象来分可大体上分为两类,即适用于光滑半群的方法与适用于非光滑Lipschitz连续半群的方法.第一种方法基于半群的可微性,利用方程的线性化来估计吸引子的维数;第二种则依赖于半群分解和问题解的渐近光滑性或弱光滑性,利用压缩算子加紧扰动来估计覆盖数.在第三章中,我们首先简要介绍了这两种方法,随后给出了一个更具一般性和概括性的估计全局吸引子的分形维数的方法.在此基础上,我们进一步建立了一个新的证明指数吸引子存在性的结果.之前介绍的两种方法,都可看作本文结论的特殊情形.在第四章和第五章中,我们研究了有界光滑区域Ω((?)RN)上带强阻尼的Kirchhoff方程的适定性和吸引子问题.这里的∈L2(Ω)是外力项,f(u)是给定的源项,σ和Φ是非线性函数.第四章讨论的是主部非退化,即Φ(s)>0的情形.在该章中,我们首先在非线性项满足更高增长次数的前提下给出了问题(0.0.1)在强解空间(H2(Ω)n H01(Ω)×H01(Ω)中的适定性.由于受到强阻尼项的影响,问题(0.0.1)具有部分正则性,即ut,utt具有类似于抛物方程的性质,然而对于强解u(x,t)本身没有更高的正则性.为了克服这一困难,我们结合了ω-极限紧办法和拟稳定估计,证明了半群具有ω-极限紧性,从而得到了全局吸引子的存在性.另一方面,我们证明了问题(0.0.1)在非线性项临界增长的条件下,具有H01(Ω)×L2(Ω)-H01(Ω)×H01(Ω)的吸引子,即该吸引子以H01(Ω)×H01(Ω)范数吸引H01(Ω)× L2(Ω)中的有界集.第五章中我们研究的是退化Kirchhoff方程,即Φ(s)≥0且可取到零值的情形.关于退化Kirchhoff方程在有界区域上的Dirichlet问题的全局吸引子存在性,迄今尚未见到任何结论.我们在非线性临界增长的条件下,首次得到了问题(0.0.1)当σ(s)≡1时在H01(Ω)× L2(Ω)中全局吸引子的存在性.